Основы математики - Шпаргалка

Прямоугольная декартовая система координат Прямоугольная система координат - прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости: - Прямоугольная система координат в пространстве: - Прямоугольная система координат в многомерном пространстве: Прямоугольная система координат может быть использована и в пространстве любой конечной размерности аналогично тому, как это делается для трехмерного пространства. Для обозначения координат обычно применяют не разные буквы, а одну и ту же букву с числовым индексом. Чаще всего это: Для обозначения произвольной i-ой координаты из этого набора используют буквенный индекс: - Прямоугольные координаты вектора: Для определения прямоугольных координат вектора (применимых для представления векторов любой размерности) можно исходить из того, что координаты вектора (направленного отрезка), начало которого находится в начале координат, совпадают с координатами его конца. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом Если в общем уравнении прямой , то его можно записать в виде уравнения с угловым коэффициентом где угловой коэффициент, a - угол, образованный прямой с положительным направлением оси , - свободный член, равный ординате точки пересечения прямой с осью . Однозначно определить прямую можно, задав одну точку и угловой коэффициент. А именно, уравнение прямой, проходящей через точку с угловым коэффициентом , определяется по формуле . Эллипс и его уравнение. Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат (каноническое уравнение окружности) имеет вид: x2 y2 = R2. Середина отрезка, соединяющего фокусы, называется центром эллипса. Эллипс, центр которого находится в начале координат, а полуоси лежат на координатных прямых, описывается следующим каноническим уравнением: - Сумма расстояний от любой точки эллипса до его фокусов постоянна: r1 r2 = 2a, где r1, r2 ? расстояния от произвольной точки P(x, y) до фокусов F1 и F2, a ? большая полуось эллипса. Линейное (векторное) пространство и его свойства Векторным (или линейным) пространством называется произвольное непустое множество V, на котором заданы операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющие следующим условиям, которые называются аксиомами векторного пространства: 1) если x, y ? V, то x y = y x (сложение векторов коммутативно); 2) если x, y, z ? V, то (x y) z = x (y z) (сложение векторов ассоциативно); 3) для всякого x ? V существует вектор 0 ? V (называемый нулевым вектором) такой, что x 0 = x; 4) для всякого x ? V существует вектор y ? V (называемый противоположным к х и обозначаемый через ?x) такой, что x y = 0; 5) если x, y ? V, а t ? R, то t(x y) = tx ty (умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов); 6) если x ? V, а t,s ? R, то (t s)x = tx sx (умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел); 7) если x ? V, а t,s ? R, то t(sx) = (ts)x; 8) если x ? V, то 1 · x = x. Теоремы о пределах функции Теорема 1.