З’ясування нових закономірностей та особливостей у теорії ортогональних поліномів на дузі кола, заданих своїми параметрами Верблунського. побудова теорії Саймона-Вольфа для одиничного кола. Вивчення нових класів сингулярних мір на колі, універсальних мір.
Аннотация к работе
Теорію ортогональних поліномів відносно мір на одиничному колі було створено на початку 20-х років ХХ ст. Саймон зробив спробу викласти теорію ортогональних поліномів на колі з погляду істотно більш розвиненої теорії операторів Шредінгера на півосі (ідея, яку було висловлено в [16]). Головна мета дисертації полягає у зясуванні нових закономірностей та особливостей у теорії ортогональних поліномів на дузі кола, заданих своїми параметрами Верблунського (коловими параметрами), побудові спекральної теорії нового класу матрицевих різницевих рівнянь, у дослідженні граничного поводження стискальних голоморфних функцій у термінах їх параметрів Шура. Методи дослідження, використані в роботі, містять комплекс аналітичних підходів до розвязку задач дослідження: 1) методи теорії скінченно-різницевих рівнянь і аналог метода Вейля-Тітчмарша для різницевих рівнянь Сегьо; 2) методи теорії лінійних операторів у гільбертовому просторі, у тому числі спектральна теорія унітарних операторів, операторні ідеали Шатена-фон Неймана й нескінченні визначники; 3) методи теорії функцій комплексної змінної, і в першу чергу теорії диск-алгебри , оцінки спряжених функцій, граничні якості функцій обмеженого виду; 4) методи гармонійного аналізу, зокрема неабсолютно збіжні ряди Фурє, теореми Бернштейна, Привалова й Зігмунда, а також сильна сумованість і майже збіжність послідовностей; 5) класичні ортогональні поліноми та спеціальні функції, у тому числі нова асимптотична формула для поліномів Якобі, інтегральні зображення й квадратичні перетворення для гіпергеометричної функції Гауса; 6) методи лінійної алгебри, повязані з оцінками норм добутків матриць та їх сингулярних чисел. · Запропоновано принципово новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як до спектральної теорії одного класу матрицевих різницевих рівнянь (рівнянь Сегьо) [16].Особливу увагу привертає випадок, коли колові параметри відділено від нуля (носієм міри є власне підмножина кола), не досліджений до роботи автора. Як показав автор, адекватним інструментом дослідження є спектральна теорія одного класу унітарних операторів (операторів Хессенберга) у гільбертовому просторі. У дисертації запропоновано принципово новий підхід до теорії ортогональних поліномів на одиничному колі як до спектральної теорії одного класу векторних різницевих рівнянь (рівнянь Сегьо). Виявлено звязок теорії ортогональних поліномів на одиничному колі з теорією рядів Фурє, що дозволив надати нових ознак абсолютної неперервності міри ортогональності в термінах колових параметрів. У дисертації запропоновано нові застосування ортогональних поліномів на одиничному колі до теорії обмежених аналітичних функцій в одиничному крузі.