Оптимальні за точністю квадратурні формули обчислення інтегралів від швидкоосцилюючих функцій в умовах найбільш повного використання апріорної інформації про задачу - Автореферат

При розвязуванні багатьох класів задач обчислювальної та прикладної математики, таких як краєві задачі для рівнянь в частинних похідних, спектральний та кореляційний аналізи випадкових процесів, автоматичне регулювання, вибір характерних ознак для розпізнавання образів, задачі аналізу акустичних сигналів, цифрової голографії, медичної електроніки, кристалографії та ін., виникає необхідність в обчисленні інтегралів вигляду У звязку з цим побудова оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення наведених інтегралів в умовах максимального врахування апріорної інформації, комплексний підхід до аналізу їх точності та ефективності є актуальними задачами, які мають широкий спектр застосувань. Глушкова НАН України «Розробити ефективні за складністю алгоритми наближеного розвязування задач цифрової обробки сигналів та зображень, задач Коші для систем звичайних диференційних рівнянь, деяких класів нелінійних рівнянь, глобальної мінімізації функцій та захисту інформації» (номер держреєстрації 0103U003259), «Розробити теоретичні основи компютерних технологій розвязання задач прикладної та обчислювальної математики із заданими значеннями характеристик якості» (номер держреєстрації 0108U001238). Для досягнення поставленої мети розвязуються наступні завдання: · побудова оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ з таких класів: класи обмежених функцій, у тому числі клас функцій, що задовольняють умові Ліпшиця, класи диференційовних функцій; · побудова оптимальних за порядком точності квадратурних формул обчислення інтегралів від ШОФ функцій загального вигляду у випадку, коли підінтегральні функції задовольняють умові Ліпшиця, отримання відповідних оцінок знизу та зверху похибки методу;У розділі 1 наведений аналітичний огляд робіт за тематикою дисертаційної роботи, основна увага приділяється чисельному інтегруванню ШОФ методом типу Файлона на основі апроксимації підінтегральної функції інтерполяційним многочленом Лагранжа, сплайн-апроксимації, оптимальному інтегруванню ШОФ з деяких класів, оптимальним за порядком квадратурним формулам обчислення інтегралів від ШОФ загального вигляду, деяким напрямкам ЦОС на основі вейвлет-перетворень та вейвлет-апроксимації. Визначені основні характеристики обчислювальних алгоритмів (точність, необхідний на розвязання задачі час, необхідна память ЕОМ), викладені постановка задачі оптимізації обчислень, визначення оптимальних за точністю, асимптотично оптимальних та оптимальних за порядком точності квадратурних формул, визначення та властивості вейвлет-функцій, прямого та оберненого вейвлет-перетворень, розглядаються особливості вейвлет-аналізу функцій, що базується на застосуванні неперервного вейвлет-перетворення, викладені теоретичні основи та практичні аспекти тестування якості алгоритмів-програм, запропонований покроковий опис технологічної схеми, що забезпечує побудову розвязку задачі з заданими значеннями характеристик якості за точністю та швидкодією. Для отримання оптимальних оцінок похибки чисельного інтегрування на класі і обґрунтування оптимальності квадратурних формул застосовується мінімаксний підхід, який полягає у побудові найкращого алгоритму для найгіршої функції класу. Суть його полягає у побудові на відрізках ( - число напівхвиль функції на відрізку ), "поганої" функції , яка поза відрізком дорівнює нулю, а на відрізку максимально віддалена від нуля. У цьому випадку можна ввести за аналогією з (4), (5) наступні характеристики: , , , і визначити оптимальні за точністю, асимптотично оптимальні й оптимальні за порядком точності квадратурні формули на класі .У підрозділі 4.1 розглядається наближене обчислення інтегралів вигляду (2) у випадку, коли , ( - клас функцій , що задовольняють на додатковій умові ). , де - константа, що залежить тільки від , , , причому оптимальною за порядком точності квадратурною формулою обчислення інтеграла (2) буде квадратурна формула Нехай , має компактний носій та змінює на ньому знак разів. Тоді для оптимальної оцінки обчислення інтегралу (3) при та будь-якому справедлива наступна оцінка знизу: , де , - деяка константа, що залежить від . Тоді для оптимальної оцінки обчислення інтегралу (3) при та будь-якому справедлива наступна оцінка знизу: квадратурний формула інтеграл швидкоосцилюючийУ підрозділі 5.1 проведене тестування оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул обчислення інтегралів (1) в класах функцій , на наборі тестових задач, який у тому числі включає “погані” задачі класів. Аналіз таблиць тестування оптимальних за точністю та близьких до них квадратурних формул на класах функцій , та відповідних програм підтверджує теоретичні висновки щодо їх якості і демонструє той факт, що найбільш повне використання апріорної інформації про підінтегральну функцію сприяє підвищенню якості розвязку задачі (1). Загальна ситуація забезпечення заданої якості розвязку задачі (1) може бути описана наступним чином. Потрібно розробити або вибрати сер

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ