Узагальнення поняття міри ризику на випадок багатовимірної випадкової величини як відповідного багатозначного відображення. Необхідні умови екстремуму для різноманітних постановок задач оптимізації портфеля та загальні підходи для їх розв’язання.
Аннотация к работе
У цьому випадку для формальних математичних постановок задач є важливим поняття міри ризику, що дозволяє певним чином враховувати потенційну можливість майбутніх втрат, повязану зі стохастичним (невизначеним) характером результату. У проблемах, де результати не мають критичного характеру, а рішення приймаються часто, можна обмежитися традиційними постановками задач стохастичної оптимізації, тобто оптимізувати середні значення певних величин (прибутки, збитки, ефективність), ймовірності відмов, тощо. Тобто рішення приймаються за двома критеріями - зиск-ризик, де в якості зиску враховуються середні значення зиску (прибутку, ефективності), а в якості ризику - відповідна міра ризику. Невдалий вибір міри може привести до суперечливих результатів таких рішень, до важкого шляху пошуку оптимальних рішень у задачах, тощо. Наступним важливим класом задач, що досліджується у роботі й належить до традиційних постановок задач стохастичної оптимізації, є проблеми оптимізації систем з двома типами відмов, що мають витоки як класичні задачі теорії надійності й відповідне практичне застосування у комунікаційних, сенсорних та інших технічних системах.Функції вигляду (1.1), що мають певний зміст та у яких множина P описується у вигляді опуклої оболонки скінченого числа точок, будемо називати поліедральними когерентними мірами ризику (ПКМР). Розвязком проблеми (1.4), (1.1)-(1.2) є компонента u рішення (v, u) наступної задачі ЛП: Далі в роботі вивчаються умови пошуку рішень, коли відомими є не вихідний вектор сценаріїв p0, а лише його певні оцінки у вигляді p0 I P, де P - поліедральна множина, тобто: P = co {pi: i = 1,…, k} = {p: B p ? c, p ? 0}. У роботі розглядаються різні постановки задач оптимізації портфеля, повязані з визначенням критеріїв зиску та ризику на компонентах багатовимірної випадкової величини X, у тому числі, агрегація критеріїв, оптимізація одних при гарантованих значеннях інших, ранжування критеріїв по важливості, тощо. У другому розділі наводиться огляд літератури і постановки задач мінімізації ймовірності відмов та середніх збитків від відмов паралельно-послідовних систем, математичний апарат, що розробляється для розвязання цих проблем, а також певні узагальнення цих постановок. Тут певна симетрія задач та їх рішень щодо перестановок координат дозволяє розглядати рішення як відповідні багатозначні відображення.Узагальнено поняття міри ризику на випадок багатовимірної випадкової величини як відповідного багатозначного відображення; досліджено оптимальність портфеля у багатовимірному випадку: розглянуто різноманітні постановки оптимізаційних задач та запропоновано методи для їх розвязання. Досліджено задачі оптимізації портфеля за узагальненим відношенням Шарпа та їх зведення до задач ЛП; сформульовано необхідні умови екстремуму для різноманітних постановок задач оптимізації портфеля. Досліджено якісні властивості задач оптимізації систем з двома типами відмов як вихідної цілочисельної постановки, так і її неперервного аналога; сформульовано необхідні умови екстремуму для цих задач. Введено поняття ефективності й відповідні індекси ефективності для систем з двома типами входів й виходів та досліджені повязані з цим оптимізаційні задачі. A problem of maximum reliability in parallel-series systems with two failure modes, In Probabilistic Constrained Optimization: Methodology and Applications, S.Uryasev (ed.).