Изучение сущности определенного интеграла – средства исследования в математике, физике, механике. Определение площади криволинейной трапеции. Ознакомление с функциями определенного интеграла. Рассмотрение геометрического смысла определенного интеграла.
Аннотация к работе
Интеграл (от лат. integer - целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т.п.Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = ? до t = ?. Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n>?) и бесконечно измельчая сами интервалы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = FS. Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x). Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x0<x1<…<xn = b на n частичных отрезков и положим: ?xi = xi - xi-1, i = 1, 2, ..., n.Заданный отрезок разделим на n промежутков (равных или неравных) точками a=x0<x1<x2<…<xn-1<xn=b, причем для всякого индекса i, принимающего целые значения от 1 до n, имеет место соотношение xi-1<xi. Такая сумма называется интегральной суммой. Построение интегральной суммы состоит в произвольном делении заданного отрезка [a, b] на частичные и произвольном выборе числа ?i на каждом отрезке. При этом интегральная сумма становится переменной величиной, имеющей конечный предел, если заданная функция непрерывна, а отрезок [a, b] конечен. Этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b].Доопределим понятие определенного интеграла при a ? b следующими равенствами: Сформулируем некоторые свойства определенного интеграла в предположении, что подынтегральная функция ограничена на отрезке, по которому она интегрируется. Если функция интегрируема на [a; b], то она интегрируема на любом отрезке [x1; x2] [a; b].Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция y = f(x) неотрицательна на отрезке [a; b], где a <b, численно равен площади S под кривой y = f(x) на [a; b] (рис. 3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке. Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения. интеграл математика трапеция Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки [хі-1; хі] разбиения имеют одинаковую длину ?хi, равную 1/n, где n - число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков [хі-1; хі] разбиения точка ?i совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. ?i = хi = , где i=1, 2, ..., n.
План
Содержание
Введение
1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
2. Определенный интеграл как предел интегральной суммы