Дослідження особливостей узагальненого методу відокремлення змінних задач з локальними багатоточковими умовами за часом і задач Коші для полілінійних диференціальних рівнянь та полілінійних систем диференціальних рівнянь із частинними похідними.
Аннотация к работе
Серед цих рівнянь важливе місце займають так звані полілінійні диференціальні рівняння та полілінійні системи рівнянь із частинними похідними. Цей спосіб дозволив авторам одержати новий операційний метод розвязування деяких крайових задач для рівнянь і систем рівнянь із частинними похідними. Описаний операційний метод виявився особливо зручним у використанні для розвязування задач з крайовими умовами за однією виділеною змінною, зокрема, для розвязування задачі Коші та багатоточкових за часом крайових задач для рівнянь та систем рівнянь із частинними похідними. У даній дисертаційній роботі операційний метод, породжений узагальненою схемою відокремлення змінних, застосовано до розвязування задач з локальними багатоточковими умовами для полілінійної системи диференціальних рівнянь із частинними похідними. встановити звязок між розвязками задачі Коші і задачі з локальними багатоточковими за часом умовами для окремого полілінійного диференціального рівняння із частинними похідними та полілінійної системи рівнянь із частинними похідними і вказати формули граничного переходу від розвязків багатоточкових задач до розвязків задач Коші при прямуванні відстані між вузлами до нуля.У вступі обґрунтована актуальність теми, висвітлено сучасний стан наукової проблеми, вказана мета й задачі дослідження, наукова новизна, апробація отриманих результатів, кількість публікацій та структура роботи. У першому розділі зроблено огляд праць за темою дисертації, викладено основні допоміжні поняття і теореми, що стосуються напрямку досліджень. У підрозділі 2.1 побудовано формальний розвязок багатоточкової задачі Нехай - характеристичний поліном матриці , яка одержується із заміною на вектор-параметр : Крім того, нехай - елементи характеристичної матриці , а - їх алгебраїчні доповнення, - розвязок такої задачі Коші У підрозділі 2.2 введено поняття мінімального полінома матриці, залежної від вектор-параметра, та зведеної приєднаної матриці.У підрозділі 3.1 запропоновано операційний метод побудови часткових розвязків звичайного диференціального рівняння. Підрозділ 3.2 містить побудову формального розвязку багатоточкової задачі Формальний розвязок задачі (12), (13) можна визначити за формулою У підрозділі 3.4 виділено класи функцій, у яких розвязок (14) задачі (12), (13) існує і є єдиним. Якщо для кожного функція як функція змінної є аналітичною на функцією і допускає однозначне аналітичне продовження до цілої функції довільного скінченного порядку і для кожного належить до , то у класі вектор-функцій, компоненти яких , , для кожного фіксованого належать до , існує єдиний розвязок задачі (12), (13).Дисертація присвячена розвязанню операційним методом, породженим узагальненою схемою відокремлення змінних, багатоточкової задачі з локальними за часом умовами та задачі Коші для полілінійної системи рівнянь із частинними похідними. Основні результати дисертації істотно розширюють і доповнюють відомі результати стосовно багатоточкових задач і задач Коші для рівнянь із частинними похідними. Розвязки задач подано як суперпозиція дій диференціальних виразів, взагалі кажучи, безмежного порядку, символами яких є праві частини умов і рівнянь, на деякі цілі функції параметрів з покладанням їх після дій рівними нулеві; Серед цих класів є класи аналітичних вектор-функцій, компоненти яких допускають однозначне аналітичне продовження до цілих функцій певних порядків за сукупністю змінних, а також простори Соболєва безмежного порядку; Їх можна використати у подальших дослідженнях багатоточкових задач та задач Коші для систем рівнянь із частинними похідними, а також в конкретних задачах механіки.