Розробка нового підходу до спектральних задач спряження для рівняння Гельмгольца. Зведення задач спряження для рівняння Гельмгольца і їх абстрактних узагальнень до операторного жмутка. Застосування результатів і методів до існуючих і нових задач.
Аннотация к работе
Задачі спряження для рівняння Гельмгольца розглядалися, починаючи с 60-х років ХХ століття, в роботах Аграновича М.С., Ройтберга Я.А. та Ройтберга Б. Я., а також Комаренко О.Н. та інших авторів. Останніми роками в серії робіт Аграновича М.С., його учнів і співавторів (Меннікен Р. та інші) детально вивчалися задачі спряження не тільки для рівняння Гельмгольца, але і для рівнянь теорії пружності та інших. При цьому параметр ? C, що входить в граничну умову, вважається спектральним параметром, а параметр ? C, що входить в рівняння, є фіксованим. У даній роботі для дослідження задач спряження застосовано інший підхід, оснований на використанні допоміжних крайових задач, білінійних форм, та методів спектральної теорії операторних жмутків (оператор-функцій, які діють у гільбертовому просторі), а також абстрактної формули Гріна для трійки гільбертових просторів. Вивчені нові класи задач спряження, а також деякі початково-крайові задачі математичної фізики, що породжують задачі спряження.У параграфі 1.1 досліджується задача (1) - внутрішня задача спряження для рівняння Гельмгольца. Для цього у введеному основному гільбертовом просторі розглядаються дві допоміжні задачі: задача Неймана для рівняння Пуассона, v1 - ?v1 = f1 (у ?1), (на Г), (7) і задача Неймана для рівняння Лапласа w1 - ?w1 = 0 (у ?1), (на Г). Далі за допомогою формули Гріна виписуються означення узагальнених розвязків допоміжних задач (7), (8) і вводяться оператори і T, за допомогою яких виражаються розвязки цих задач. Остаточно одержуємо, що задача (1) про відшукання розвязків u1(x) в просторі H рівносильна системі співвідношень u1(x) = v1(x) w1(x), (?1,v1)H = (?1, - ?u1) , (10) Звуження цього оператора на підпростір U1, тобто на простір що складається з узагальнених розвязків другої допоміжної задачі (8) за умови, що ?1 пробігає весь простір H-1/2(Г), є компактним додатним оператором, а власні значення цього звуження мають асимптотичну поведінку ?k(B21)= ?k(Q*1Q1)=( )1/2 k-1/2[1 o(1)] (k>?), ?1 R3.Запропоновано новий операторний метод дослідження задач спряження, що дозволяє звести розглянуті в роботі задачі до єдиного вигляду. Досліджено абстрактний двопараметричний операторний жмуток породжений задачами спряження, у якому один з параметрів вважається фіксованим, а другий спектральним. З використанням нового підходу досліджено задачі спряження для загальних еліптичних рівнянь, рівнянь лінійної теорії пружності (рівняння Ламе) і лінійної гідродинаміки (рівняння Стокса). На основі методу, використаного в спектральних задачах спряження, вивчено початково-крайові проблеми, що породжують задачі спряження. Случай общего положения для операторного пучка, возникающего при исследовании задач сопряжения // Ученые записки Таврического национального университета.