Особливості прямих та обернених теорем теорії наближень. Визначення аналогів нерівностей Джексона і Бернштейна. Оцінка похибки наближених розв’язків задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь методом Келі. Побудова векторів експоненціального типу.
Аннотация к работе
Терьохін довів прямі та обернені теореми теорії наближень, беручи замість оператора диференціювання генератор ізометричної групи у банаховому просторі. Горбачуком (1993р.) був запропонований операторний підхід до задач наближення, який дав змогу з єдиної точки зору не тільки отримати чимало класичних прямих та обернених теорем, але й розширити їх клас. Мета роботи - з єдиної операторної точки зору дослідити прямі та обернені теореми теорії наближень; встановити аналоги нерівностей Джексона і Бернштейна і на їх основі довести прямі й обернені теореми теорії наближень, використовуючи запропоновані М. П. Купцовим узагальнення модулів неперервності, побудовані на понятті С0-групи, та цілі вектори експоненціального типу як обєкти, за допомогою яких наближається довільний вектор гільбертового або банахового простору; поширити результати на максимально широкий клас C0-груп та застосувати одержані теореми до методу наближення Рітца; а також довести прямі та обернені теореми у випадку наближеного розвязання задачі Коші для диференціально-операторних рівнянь методом перетворення Келі. Для довільного самоспряженого оператора в гільбертовому просторі одержано прямі та обернені теореми, що відображають звязок між степенем гладкості вектора відносно оператора, k-м модулем гладкості та швидкістю прямування до нуля найкращого наближення цілими векторами експоненціального типу; доведено непокращуваність сталих, що фігурують у нерівностях типу Джексона, встановлено аналог нерівності Бернштейна-Нікольського.A: Для числа a > 0 покладемо: , Елементи простору E(A) називаються цілими векторами експоненціального типу оператора Під типом s(x,A) вектора XIE(A) розумітимемо число Для довільного XIX покладемо тобто ?r(x,A) - найкраще наближення елемента x цілими векторами y експоненціального типу оператора При фіксованому x ?r(x,A) не зростає, при цьому ?r(x,A) > 0, r®?, для довільного XIX тоді і тільки тоді, коли множина E(A) цілих векторів експоненціального типу оператора Його значення є цілими векторами експоненціального типу, що не перевищує r і дають змогу встановити нерівності типу Джексона (прямі теореми наближень).Другий та третій розділ містять результати досліджень з апроксимації векторів банахового простору цілими векторами експоненціального типу неквазіаналітичного оператора. Четвертий розділ присвячено дослідженню швидкості збіжності наближеного методу розвязання операторної задачі Коші, в основі якого лежить розклад експоненти в ряд за поліномами Лагерра.