Доведення існування та единості сильного розв"язку відповідних початково-крайових задач математичної фізики, розв’язання проблеми нормальних коливань гідромеханічних систем, визначення властивостей спектру, повноти та базисності системи кореневих функцій.
Аннотация к работе
Останні пятьдесят років багато початково-крайових задач математичної фізики, які повязані із проблемою малих рухів та власних (нормальних) коливань суцільних середовищ, тобто систем з нескінченним числом ступенів свободи, вивчаються методами функціонального аналізу. Подальші дослідження таких задач проводилися у роботах І.А. Ці методи дозволяють дослідити одномірні та багатомірні лінійні початково-крайові задачі математичної фізики, зокрема - спектральні задачі, які містять спектральний параметр не тільки у рівняннях, але й у граничних умовах. Зокрема, вивчаються нові задачі, які повязані з дією вязкопружних сил у суцільних середовищах: 1) Початково-крайова задача про малі поперечні коливання вязкопружного стержня з вагою на кінці. У роботі застосовуються методи функціонального аналізу, зокрема, методи теорії диференціальних рівнянь у гільбертовом просторі та теорії рівнянь у частинних похідних, методи теорії стискаючих напівгруп операторів, методи спектральної теорії операторних пучків (оператор-функцій, що залежать від спектрального параметру), теорії лінійних операторів, самоспряжених у просторі з індефінітною метрикою, а також підходи, які засновані на використанні так званих операторних блоків-матриць з необмеженими операторними коефіцієнтами.Щодо властивостей операторів B, C з (7)-(8), доведені наступні твердження: Оператор B додатно означений і самоспряжений, має дискретний спектр, причому енергетична норма оператора B еквівалентна нормі оператор C=C* є додатним, причому його спектр Для сильної можливості розвязання задачі Коши (5) достатньо виконання умов: Підсумком вивчення початково-крайової задачі (1) є наступне твердження: нехай у задачі (1) виконані умови Назвемо матрицю , яка визначається формулами (21)-(24), операторною матрицею, асоційованою з вихідною початково-крайовою задачею (1), а задачею про нормальні коливання вязкопружного стержня назвемо задачу на власні значення для оператора : (27) Аналогічний результат встановлений для другої точки з - точки Задача (27) має (як частину спектра) лічильну множину додатних скінченнократних власних значень з єдиною граничною точкою Власні елементи які відповідають власним значенням , мають наступну властивість: їх проекції на простір H утворюють базис Риса зі скінченим дефектом в H. Зазначений звязок між розвязком задачі (27) і задачі на власні значення для пучка (33) дозволяє встановити властивості розвязку задачі (27), вивчаючи властивості розвязку задачі на власні значенняРозроблено підхід, що дозволяє початково-крайову задачу про малі поперечні коливання вязкопружного стержня з вагою на кінці трактувати як задачу Коши для повного лінійного диференціального рівняння другого порядку в гільбертовому просторі, а цю задачу, у свою чергу, привести до задачі Коши для системи диференціальних рівнянь першого порядку з матричним операторним коефіцієнтом, що є генератором голоморфної напівгрупи операторів. Доведено теорему існування сильного розвязку початково-крайової задачі про поперечні коливання вязкопружного стержня з вагою на кінці. Доведено теореми про базисність системи кореневих елементів спектральної задачі про нормальні коливання вязкопружного стержня з вагою на кінці. Отримано явний вираз для розвязка початково-крайової задачі, а також формули для обчислення власних значень і власних елементів спектральної задачі. Вивчена двовимірна (плоска) задача про малі рухи й нормальні коливання твердого тіла (маятника) з порожниною, яка заповнена вязкопружною рідиною, що відповідає узагальненій моделі Олдройта.