Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
Аннотация к работе
Обыкновенные дифференциальные уравнения Задание 1. Найти решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными . Решение: Произведём разделение переменных: (3y2 1)dy = 2xdx Проинтегрируем левую и правую часть. 3 = 2 . 3 y C = 2 , y3 y C = x2, или x = . 3yy = x. Запишем уравнение в виде: 3y = x и произведём замену переменных: 3ydy = xdx, тогда 3 = 3 = C/2 или 3y2 = x2 C, тогда y = . Задание 2. Найти решение однородных дифференциальных уравнений первого порядка (2x - y)dx (2y - x)dy = 0. Разрешим уравнение относительно dy/dx: y = = - , поделив числитель и знаменатель правой части на х, получим: y = - , т. е. у есть функция отношения у/х. Это означает, что данное уравнение однородное. Для решения этого уравнения введём новую функцию u = y/x. Тогда у = ux, y = xdu/dx u. Исходное уравнение запишется в виде уравнения с разделяющимися переменными: x u = ; x = - u = = , = - du = - . Проинтегрируем это уравнение: ln = 2 - lnC. ln = 2(u - ln(u 1)) - ln(u 1) = 2u - l-2ln(u 1) - ln