Математические основы построения сечений многогранников. Особенности познавательной сферы учащихся юношеского возраста и их учёт при обучении построению сечений многогранников. Использование сечений при решении задач на вычисление объёмов многогранников.
Аннотация к работе
Задачи на построение сечений многогранников являются целью изучения в курсе геометрии 10-го класса, где на эту тему отводится от четырех до шести уроков. Цель данного исследования состоит в разработке методики обучения решению задач на построение сечений многогранников на базовом и углубленном уровнях в курсе геометрии 10-11 классов. Гипотеза исследования: методика обучения учащихся 10-11 классов построению сечений многогранников в условиях реализации ФГОС СОО, основанная на использовании: подготовительных упражнений для построения сечений; планируемых предметных и метапредметных результатов изучения этой темы; соответствующих средств, форм и методов достижения этих результатов будет способствовать совершенствованию процесса обучения геометрии учащихся 10-11 классов. Задачи исследования: 1) Выявить математические основы построения сечений многогранников, установить методы решения задач на построение сечений, представленные в УМК по геометрии для 10-11 классов и соотнести их с требованиями ФГОС и ПООП СОО. 3) Разработать методические рекомендации для обучения построению сечений многогранников и их использованию при решении задач, направленные на достижение сконструированных планируемых предметных и метапредметных результатов учащимися 10-11 классов.Тогда если точки К и L лежат в секущей плоскости, а точки K1 и L1 - их проекции на плоскость грани, в которой лежит след XY (причем, естественно, прямые KK1 и LL1 параллельны боковому ребру многогранника), то точка пересечения прямых KL и K1L1 лежит на следе XY. Решение: Построим точки P1, Q1 и R1-проекции точек P, Q и R на плоскость АВС. Т.к. по условию точка Р лежит на ребре СС1, то, проектируя ее в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда, получим точку P1, совпадающую с точкой С. Ясно, что т.к. точка Х лежит на прямой PR, то она лежит и в секущей плоскости, а т.к. она лежит на прямой P1R1, то она лежит и в плоскости АВС - плоскости нижнего основания. Если, например, вместо точки Y найти точку Z (точку пересечения прямых RQ и R1Q1), то, т.к. и точка Х, и точка Z обе принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то прямая XZ будет также следом секущей плоскости PQR. Ясно, что т.к. точки P, Q и R принадлежат одной плоскости, и точки P1, Q1 и R1 также принадлежат одной плоскости, и точки X, Y и Z лежат на линии пересечения этих плоскостей.Так как в ПООП СОО предметные результаты на всех уровнях включают методы построения сечений, то целью логико-математического анализа учебников (ЛМА) было выявление наличия в учебниках методов, способов, и приемов решения задач на построение сечений. В Главе 9 под названием «Сечения» рассматриваются различные методы построения сечений многогранников на конкретных примерах (названия методов в явном виде не выделяются); построение сечения, проходящего через три точки; примеры задач на построение сечений, параллельных прямым и плоскостям, а также практические приемы использования сечений на практике [22]. Усеченная пирамида» (4 урока) учащиеся знакомятся с построением сечения призмы и пирамиды плоскостями, параллельными боковым ребрам (диагональные сечения), а также с построением сечения плоскостью, проходящей через данную прямую на плоскости одного из оснований многогранника (след секущей плоскости на плоскости основания). Учащимся предлагаются следующие задачи: на построение (построение сечений четырехугольной призмы и пирамиды плоскостью, проходящей через три данные точки; построение сечения треугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и данную точку на противолежащем ребре); на вычисление (отыскание площади сечения; боковой поверхности многогранника при известной площади диагонального сечения и др.). Звавича [30] в 11 классе, а сами методы построения сечений многогранников и задачи на построение их сечений представлены в дополнениях в задачнике «Геометрия 10 класс» [31].Для использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики Для развития мышления, использования в повседневной жизни и обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, не связанным с прикладным использованием математики 1) формулировать: аксиомы стереометрии; определения основных понятий; основные теоремы; 2) извлекать информацию о пространственных геометрических фигурах, представленную на чертежах; в том числе, связанную с сечениями 3) строить сечения многогранников плоскостью, проходящей через 3 данные точки, методом следов (способ пересечения множеств), с дополнительным условием параллельности; 4) обосновывать правильность построенного сечения Для успешного продолжения образования по специальностям, связанным с прикладным использованием математики Для обеспечения возможности успешного продолжения образования по специальностям, связанным с осуществлением научной и исследовательской деятельности в области математики и смежных наук2) анализировать решение задачи на построение точ