Разработка алгоритма, вычисляющего наибольшее собственное сингулярное число симметричной вещественной матрицы. Доказательства линейной сходимости разработанных алгоритмов. Формирование вычислительного процесса, оптимального для реализации на компьютере.
Аннотация к работе
Задачи подобного рода, с одной стороны, достаточно часто возникают в разнообразных инженерных расчетах, приводя к матрицам, как правило, больших размерностей; с другой стороны, имеют кубическую зависимость объема вычислений от размера задачи, что требует существенного времени счета даже на современных быстродействующих ЭВМ. Многие из алгоритмов, существующие ныне, проходили длительный путь от их первоначального «зарождения» до современного вида, возникшего благодаря многократным совершенствованиям и теоретическим исследованиям (например, QR-алгоритм). Целью диссертационной работы является разработка и исследование нового алгоритма, вычисляющего наибольшее собственное значение симметричной вещественной матрицы, а также алгоритма, вычисляющего наибольшее сингулярное число несимметричной вещественной матрицы; получение теоретических доказательств линейной сходимости разработанных алгоритмов; формирование вычислительного процесса, оптимального для реализации на ЭВМ; проведение сравнительных численных экспериментов с предложенными в диссертации и ранее известными алгоритмами. Эксперименты выполняются на матрицах различной размерности, для различных относительных точностей расчета, для матриц с различной близостью старших собственных (сингулярных) чисел, для вычислительных процессов с разным коэффициентом верхней релаксации. Характеристикой вычислительной сложности алгоритмов служит количество арифметических операций (флопов), затраченных на вычислительный процесс.