Розробка питань і побудова теорії диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей. Локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тора. Теорема про звідність системи до канонічного вигляду.
Аннотация к работе
Розвиток технічних наук обумовив інтерес до різницевих рівнянь, що виявились досить зручною моделлю для опису імпульсних та дискретних динамічних систем. Крім того, різницеві рівняння зустрічаються при чисельному розвязуванні багатьох класів диференціальних рівнянь за допомогою метода скінченних різниць. Початок вивчення різницевих рівнянь було покладено в роботах Лагранжа, Ейлера, Пуанкаре, Перрона. В останній час зростає інтерес до розгляду питань, пов‘язаних з системами диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей. Знайдено умови при яких інваріантний тор зліченної системи різницевих рівнянь є границею послідовності інваріантних торів скінченних вкорочених спеціальним чином систем різницевих рівнянь.Для системи (6) в околі інваріантного многовиду вводяться локальні координати : , , за формулою , (7) причому система (6) в локальних координатах прийме вигляд: , Размещено на .ru Основний результат підрозділу виведено в теоремі 2.1 про введення локальних координат для системи (5). Тоді система (5) при виконанні вказаних умов в околі інваріантного многовиду в локальних координатах , що вводяться за формулою Доводиться теорема 2.2, в якій виведені умови, при яких система (10), записана в локальних координатах, приймає канонічний виглядВ дисертаційній роботі одержані такі результати: Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
Вывод
В дисертаційній роботі одержані такі результати: Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
Введено локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тора. Доведено теорему про звідність системи до канонічного вигляду.
Доведено теорему про редукцію зліченної системи різницевих рівнянь до скінченного випадку.
Чисельно-аналітичний метод знаходження періодичних розвязків систем диференціальних рівнянь розроблений для зліченних систем різницевих рівнянь.
Список литературы
Результати досліджень даної дисертаційної роботи опубліковано в трьох самостійних наукових працях [1 - 3], в [4] в співавторстві з доктором фіз.-мат. наук Мартинюком Д.І., а також у тезах доповідей [5 - 7].
Обєм та структура роботи.
Дисертаційна робота складається зі вступу, двох розділів, загальних висновків та списку використаних джерел, що налічує 76 найменувань. Загальний обсяг роботи 133 друкованих сторінок.
Зміст роботи
У вступі даної дисертаційної роботи обговорено актуальність розглянутих в даній роботі проблем та історичні корені сучасних досліджень.
У першому розділі дисертації знайдено необхідні умови існування інваріантних торів зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
У підрозділі 1.1 введено поняття неперервної періодичної по кожній змінній з періодом функцій, що приймає значення в . Будуються спеціальним чином простори , , в яких проводяться подальші дослідження. Доведена теорема 1.1 про апроксимацію функції з простору тригонометричними поліномами, що взяті з побудованого спеціальним чином лінійного простору .
У підрозділі 1.2 розглянуто систему диференціальних рівнянь в просторі вигляду
, , (1) де , , , - m-мірний тор, , оператор , діючий з в , задається нескінченною матрицею, компоненти якої є неперервними на торі функціями.
Введено поняття інваріантного тора зліченної системи диференціальних рівнянь.
За допомогою лінійних операторів, які вводяться спеціальним чином, будується система рівнянь спряжена до відповідної (1) однорідної системи: , . (2) диференціальний різницевий рівняння тор
В термінах спряженої системи доводиться теорема 1.2 про необхідні умови існування інваріантного тора лінійної системи диференціальних рівнянь (1).
ТЕОРЕМА 1.2. Для того щоб система рівнянь (1) мала інваріантний тор, необхідно, щоб функція була ортогональною до ядра спряженого оператора системи (2).
В підрозділі 1.3 отримані необхідні умови існування інваріантного тора лінійної системи диференціальних рівнянь з довільною неоднорідністю з .
Доводиться відповідна теорема 1.3.
ТЕОРЕМА 1.3. Для того щоб система рівнянь (1) мала інваріантний тор для довільної функції , необхідно, щоб спряжена до однорідної (2) система рівнянь не мала відмінних від тривіального
, інваріантних торів.
В підрозділі 1.4 питання, вивчені для систем диференціальних рівнянь, поширюються на зліченну лінійну неоднорідну систему різницевих рівнянь, що записана у вигляді
, , (3) де , , , - m-мірний тор, , оператор , діючий з в , задається нескінченною матрицею, компоненти якої є неперервними на торі функціями, - тотожній оператор.
Введено поняття інваріантного тора зліченної системи різницевих рівнянь.
За допомогою лінійних операторів до відповідної (3) однорідної системи рівнянь
, (4) введено спряжену систему рівнянь.
Аналогічно результатам, одержаним для систем диференціальних рівнянь, сформульовано і доведено теорему 1.4 і теорему 1.5 про необхідні умови існування інваріантних торів зліченних систем різницевих рівнянь при заданій правій частині і з довільною неоднорідністю з відповідно.Верьовкіна Г.В. Періодичні розвязки зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. 1996. Вип. 1. С. 17-20.
Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. 1997. Вип. 4. С. 23-29.
Верьовкіна Г.В. Локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // «Дифференц. и интеграл. уравнен. мат. физики и их приложен.» Сборн. науч. трудов. Ин-т математики НАН Украины. К.,1997. С. 51-54.
Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Інваріантні множини зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Університету. Сер. фіз.-мат. наук. 1997. Вип. 1. С. 117-127.
Верьовкіна Г.В. Зліченні системи різницевих рівнянь та їх періодичні розвязки // Тези доповід. Пята міжнародна наук. конференц. ім. акад. М. Кравчука. К.,1996. С. 69.
Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Тези доповід. Міжнарод. конференц. Треті Боголюбовські читання. К., 1997. С. 37-38.
Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Теорема про існування інваріантних множин зліченних систем різницевих рівнянь // Тези доповід. Всеукраїн. конференц. «Диференц.-функц. рівняння та їх застосування». К.,1996. С. 123.