Теорія диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей. Доведення теорем про редукцію нескінченної системи рівнянь до скінченної, що є лінійним розширенням на m-вимірному торі. Умови існування інваріантних многовидів.
Аннотация к работе
Розвиток технічних наук обумовив інтерес до різницевих рівнянь, що виявились досить зручною моделлю для опису імпульсних та дискретних динамічних систем. Крім того, різницеві рівняння зустрічаються при чисельному розвязуванні багатьох класів диференціальних рівнянь за допомогою метода скінченних різниць. Початок вивчення різницевих рівнянь було покладено в роботах Лагранжа, Ейлера, Пуанкаре, Перрона. В останній час зростає інтерес до розгляду питань, повязаних з системами диференціальних та різницевих рівнянь в просторі обмежених числових послідовностей. Знайдено умови при яких інваріантний тор зліченної системи різницевих рівнянь є границею послідовності інваріантних торів скінченних вкорочених спеціальним чином систем різницевих рівнянь.Для системи (6) в околі інваріантного многовиду вводяться локальні координати : , , за формулою: , (7) причому система (6) в локальних координатах прийме вигляд: , , (8) де - - періодичні відносно , - певного порядку гладкості, і можуть бути знайдені. Основний результат підрозділу виведено в теоремі 2.1 про введення локальних координат для системи (5). Тоді система (5) при виконанні вказаних умов в околі інваріантного многовиду в локальних координатах , що вводяться за формулою: , (9) де , покоординатні границі, прийме вигляд: , , (10) де , , - покоординатні границі. Доводиться теорема 2.2, в якій виведені умови, при яких система (10), записана в локальних координатах, приймає канонічний вигляд: , . У підрозділі 2.2 введено поняття функції Гріна задачі про інваріантні тори зліченної системи різницевих рівнянь: , , (12) де - - мірний вектор, , і поняття функції Гріна задачі про обмежені розвязки системи: .В дисертаційній роботі одержані такі результати: Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
Вывод
В дисертаційній роботі одержані такі результати: Встановлено необхідні умови існування інваріантних тороідальних многовидів для зліченних систем диференціальних та різницевих рівнянь.
Введено локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тора. Доведено теорему про звідність системи до канонічного вигляду.
Доведено теорему про редукцію зліченної системи різницевих рівнянь до скінченного випадку.
Чисельно-аналітичний метод знаходження періодичних розвязків систем диференціальних рівнянь розроблений для зліченних систем різницевих рівнянь.
Список литературы
1. Верьовкіна Г.В. Періодичні розвязки зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Університету. Сер. фіз. -мат. наук. - 1996. -Вип. 1. - С. 17-20.
2. Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Вісник Київського Університету. Сер. фіз. -мат. наук. - 1997. - Вип. 4. - С. 23-29.
3. Верьовкіна Г.В. Локальні координати для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // "Дифференц. и интеграл. уравнен. мат. физики и их приложен."Сборн. науч. трудов. Ин-т математики НАН Украины. - К., 1997. - С. 51-54.
4. Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Інваріантні множини зліченних систем різницевих рівнянь // Вісник Київського Університету. Сер. фіз. -мат. наук. - 1997. - Вип. 1. - С. 117-127.
5. Верьовкіна Г.В. Зліченні системи різницевих рівнянь та їх періодичні розвязки // Тези доповід. Пята міжнародна наук. конференц. ім. акад. М. Кравчука. - К.,1996. - С. 69.
6. Верьовкіна Г.В. Про введення локальних координат для зліченної дискретної системи в околі інваріантного тору // Тези доповід. Міжнарод. конференц. Треті Боголюбовські читання. - К.,1997. - С. 37-38.
7. Мартинюк Д.І., Верьовкіна Г.В. Теорема про існування інваріантних множин зліченних систем різницевих рівнянь // Тези доповід. Всеукраїн. конференц. "Диференц.-функц. рівняння та їх застосування". - К.,1996. - С. 123.