Інваріантні многовиди і множини припустимих швидкостей в задачах динаміки твердого тіла - Автореферат

Моделювання руху фізичних обєктів, засноване на аналітичних методах дослідження руху абсолютно твердого тіла, знаходить широке застосування у різних конструкціях, створюваних сучасною технікою. Класична задача про рух важкого твердого тіла в потенціальному полі сили тяжіння була поставлена Леонардом Ейлером, ним розроблено аналітичні методи розвязання задач динаміки твердого тіла, які базуються на складанні й інтегруванні диференціальних рівнянь руху, віднесених до фіксованих в тілі головних осей інерції. Дослідження останніх років показали, що класичну задачу Ейлера про рух важкого твердого тіла з нерухомою точкою доцільно розглядати як окремий випадок більш загальної проблеми - задачі про рух важкого гіростата з постійним гіростатичним моментом. Дослідження, результати яких представлено у дисертації, проводилися у відповідності з планами наукових досліджень відділів прикладної та технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України на 2001-2008 роки за бюджетними темами 1.1.4.6 «Розробка нових математичних методів дослідження сучасних задач аналітичної динаміки твердого тіла» (№0101U001093), «Якісні методи дослідження нелінійних механічних систем, їх розвиток та застосування до задач динаміки твердого тіла» (№0106U000045), виконаних згідно з постановою Бюро Відділення математики НАН України (наказ №9 від 06.12.2000, наказ №11 від 27.10.2005). Для досягнення поставленої мети розвязано наступні задачі: 1) редукція диференціальних рівнянь руху твердого тіла і гіростата, створення нових форм рівнянь, що спрощують пошук алгебраїчних інваріантних співвідношень; 2) топологічна класифікація інтегральних многовидів динамічних систем, що описують рух твердого тіла і гіростата; 3) топологічний та чисельний опис множини припустимих швидкостей твердого тіла з нерухомою точкою, побудова глобального перетину Пуанкаре та аналіз його основних властивостей; 4) необхідні умови існування мероморфних розвязків рівнянь Ейлера-Пуассона, відшукання всіх розвязків рівнянь Н.Диференціальні рівняння Ейлера-Пуассона, які описують поведінку твердого тіла у гравітаційному полі, мають вигляд: де - тензор інерції у точці закріплення, - кутова швидкість тіла в рухомому базисі, - одиничний вектор вертикалі, - вектор, спрямований від нерухомої точки до центра мас тіла. Якщо тверде тіло знаходиться під дією сили тяжіння і несе на собі обертові маси (маховики або рідину, що циркулює в багатозвязних порожнинах), то його рух навколо нерухомої точки описується диференціальними рівняннями де - тензор інерції, - кутова швидкість тіла-носія в рухомих осях, - орт вертикалі, - постійний гіростатичний момент і - вектор, спрямований від нерухомої точки до центра мас гіростата. У другому розділі запропоновано нові методи редукції рівнянь (1.1) руху твердого тіла навколо нерухомої точки та їх узагальнень (1.3) на задачу про рух гіростата. Окремо розглянуто випадок, коли центр мас тіла міститься в головній площини інерції: У припущенні рівняння Ейлера-Пуассона (1.1) зведено до системи з двох рівнянь де - незалежна змінна, залежними змінними системи є сталі коефіцієнти виражаються через компоненти гірацийного тензора: Якщо залежність та від знайдена з рівнянь (2.4), то випливає з додаткового рівняння У третьому розділі досліджено біфуркації інтегральних многовидів рівнянь Ейлера-Пуассона у випадку, коли центр мас тіла належить головній площини інерції.Вивчено якісне поводження фазових траєкторій як у інтегровних випадках, так і в загальній задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки. Здобуті результати поширено на більш загальну проблему - задачу про рух навколо нерухомої точки важкого гіростата з постійним гіростатичним моментом. Здійснено ізоінтегральну редукцію рівнянь руху твердого тіла (у більш загальній постановці - гіростата) навколо нерухомої точки. У припущенні, що центр мас твердого тіла знаходиться в головній площині інерції, вивчено біфуркації спільних рівнів інтегралів енергії і моменту, надано повний опис топології інтегральних многовидів, досліджено проекції цих многовидів на конфігураційний простір, вказано топологічну структуру шарувань на сфері Пуассона. У загальній задачі про рух важкого гіростата впроваджено сімю глобальних нетрансверсальних перетинів Пуанкаре, досліджено їх властивості, топологію і біфуркації.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У дисертації розвинуто топологічні і геометричні методи дослідження інваріантних многовидів механічних систем з алгебраїчними першими інтегралами. Вивчено якісне поводження фазових траєкторій як у інтегровних випадках, так і в загальній задачі про рух твердого тіла навколо нерухомої точки. Здобуті результати поширено на більш загальну проблему ? задачу про рух навколо нерухомої точки важкого гіростата з постійним гіростатичним моментом. Наступні результати дисертації є основними: 1. Здійснено ізоінтегральну редукцію рівнянь руху твердого тіла (у більш загальній постановці ? гіростата) навколо нерухомої точки. Отримано нові форми диференціальних рівнянь руху у вигляді системи другого порядку, що істотно спрощує дослідження точних розвязків з алгебраїчними інваріантними співвідношеннями.

2. У припущенні, що центр мас твердого тіла знаходиться в головній площині інерції, вивчено біфуркації спільних рівнів інтегралів енергії і моменту, надано повний опис топології інтегральних многовидів, досліджено проекції цих многовидів на конфігураційний простір, вказано топологічну структуру шарувань на сфері Пуассона. Проаналізовано трипараметричну сімю біфуркаційних діаграм і вивчено пятипараметричну сімю інтегральних многовидів. У результаті дослідження отримано 46 типів невироджених біфуркаційних діаграм і виявлено гладкий інтегральний 3-многовид , невідомий раніше в цій задачі.

3. У загальній задачі про рух важкого гіростата впроваджено сімю глобальних нетрансверсальних перетинів Пуанкаре, досліджено їх властивості, топологію і біфуркації. Виявлені властивості фазових перетинів використано для класифікації проекцій інтегральних многовидів на рухомий простір кутових швидкостей. За допомогою створеної методики цілком вивчено множину припустимих швидкостей твердого тіла з нерухомою точкою.

4. Для класичного гіроскопа Ковалевської досліджено трипараметричну сімю сингулярних поверхонь ? проекцій двовимірних інваріантних многовидів на рухомий простір кутових швидкостей. Надано класифікацію можливих типів цих поверхонь і визначено характерні якісні властивості рухомих годографів для всіх значень констант інтегралів, що відповідають невиродженим рухам гіроскопа Ковалевської. На основі детальної класифікації можливих форм годографів кутової швидкості запропоновано кінематичний опис квазіперіодичних рухів твердого тіла.

5. У інтегровному випадку, що узагальнив інтеграл Ковалевської на задачу про рух гіростата, знайдено біфуркаційну множину, у термінах топологічних інваріантів Фоменка описано еволюції і можливі перетворення торів Ліувілля на тривимірних ізоенергетичних поверхнях, аналітичними, чисельними і якісними методами досліджено асимптотичні рухи гіростата, при одному додатковому обмеженні на параметри механічної системи динамічні рівняння зведено до еліптичних квадратур.

6. Асимптотичний метод Ковалевської, методи й алгоритми степеневої геометрії використано для локального аналізу поводження розвязків рівнянь Ейлера?Пуассона. Отримано необхідні умови існування розвязків з алгебраїчними інваріантними співвідношеннями. Досліджено рівняння Н. Ковалевського, знайдено всі розвязки цих рівнянь, зображувані скінченними сумами раціональних ступенів незалежної змінної.

7. Вивчено розщеплення сепаратрис для несиметричного тіла, що обертається навколо нерухомої точки в слабкому полі тяжіння. Досліджено якісні властивості асимптотично маятникових рухів твердого тіла в рухомому і нерухомому базисах.

Гашененко И.Н. Геометрический анализ двухчастотных квазипериодических движений гироскопа Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1990. - Вып. 22. - С. 1-10.

Гашененко И.Н. Новый класс движений тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Доклады АН СССР. - 1991. - Т. 318, вып. 1. - С. 66-68.

Гашененко И.Н. Один случай интегрируемости уравнений движения гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1992. - Вып. 24. - С. 1-4.

Гашененко И.Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1993. - Вып. 25. - С. 7-16.

Гашененко И.Н. Бифуркационное множество задачи о движении гиростата, подчиненного условиям Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1995. - Вып. 27. - С. 31-35.

Гашененко И.Н. Бифуркационное множество в задаче о движении тяжелого гиростата при условиях Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Доповіді НАН України. - 1997. - Вып. 2. - С. 60-62.

Гашененко И.Н. Подвижный годограф угловой скорости в решении С.В. Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1998. - Вып. 26(I). - С.1-9.

Гашененко И.Н. Изоэнергетическая поверхность в задаче о движении твердого тела/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1998. - Вып. 26(II). - С. 89-95.

Гашененко И.Н. О мероморфных решениях уравнений Эйлера-Пуассона/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1999. - Вып. 28.- С. 1-8.

Гашененко И.Н. Интегральные многообразия и топологические инварианты одного случая движения гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 1997. - Вып. 29. - С. 1-7.

Гашененко И.Н. Инвариантные множества в пространстве угловых скоростей тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2000. - Вып. 30. - С. 79-87.

Gashenenko I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top/ I.N. Gashenenko// Regular and chaotic dynamics. - 2000. - V. 5, № 1. - P. 104-113.

Гашененко И.Н. Анализ изоэнергетических поверхностей для точных решений задачи о движении твердого тела/ И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер// Механика твердого тела.- 2001.- Вып. 31.- С. 18-30.

Гашененко И.Н. Огибающие поверхности в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 39-49.

Гашененко И.Н. Характеристические показатели периодических решений уравнений Эйлера-Пуассона/ И.Н. Гашененко, Е.Ю. Кучер// Механика твердого тела. - 2002. - Вып. 32. - С. 50-59.

Гашененко И.Н. Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2003. - Вып. 33. - С. 20-32.

Gashenenko I.N. Enveloping surfaces and admissible velocities of heavy rigid bodies/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter// Int. J. Bifurcation and Chaos. - 2004. - V. 14, № 8. - P. 2525-2553.

Гашененко И.Н. Бифуркации уровней первых интегралов в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2004. - Вып. 34. - С. 37-46.

Гашененко И.Н. Интегральные многообразия задачи о движении несимметричного гиростата/ И.Н. Гашененко// Труды ИПММ НАН Украины. - 2005. - Т. 10.- С. 24-31.

Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий в задаче о движении тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Нелинейная динамика. - 2005. - Т. 1, № 1. - С. 33-52.

Ковалев А.М. О хаотических движениях и расщеплении сепаратрис возмущенного движения Гесса/ А.М. Ковалев, И.Н. Гашененко, В.В. Кириченко// Механика твердого тела. - 2005. - Вып. 35. - С. 19-30.

Брюно А.Д. Конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2005. - Вып.35. - С. 31-37.

Брюно А.Д. Простые точные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Доклады РАН. - 2006.- Т. 409, № 4. - С. 439-442.

Гашененко И.Н. Изоэнергетические поверхности в задаче о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Механика твердого тела. - 2006. - Вып. 36. - С. 3-12.

Гашененко И.Н. О редукции уравнений Эйлера-Пуассона/ И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова// Механика твердого тела. - 2007. - Вып. 37. - С. 69-84.

Гашененко И.Н. Поверхности постоянной энергии в задаче о движении твердого тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Математика в индустрии: межд. конф., 29 июня-3 июля 1998 г.: сб. трудов. - Таганрог: ТГПИ, 1998. - С. 90-92.

Гашененко И.Н. Бифуркации интегральных многообразий задачи о движении гиростата Ковалевской/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 2-6 сент. 1996 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 1996. - С. 26-28.

Гашененко И.Н. Об инвариантных множествах в пространстве угловых скоростей твердого тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Устойчвость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 7-9 сент. 1999 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 1999. - С. 3.

Гашененко И.Н. Визуальное моделирование хаотической динамики тяжелого твердого тела/ И.Н. Гашененко, К.А. Ручкин, С.В. Лапенко// Укр. мат. конгресс: 21-23 авг. 2001 г.:тезисы докл. - Киев, 2001. - С. 14-15.

Гашененко И.Н. Асимптотический метод Ковалевской в динамике твердого тела/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 3-7 сент. 2002 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. - С. 62-63.

Гашененко И.Н. Огибающие поверхности и допустимые скорости тяжелого гиростата/ И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 3-7 сент. 2002 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2002. - С. 63.

Гашененко И.Н. Интегральные многообразия уравнений Эйлера-Пуассона/ И.Н. Гашененко// 5-й межд. симпозиум по классической и небесной механике, 23-28 авг. 2004 г.: тезисы докл. - В. Луки: ВЦ РАН, 2004. - С. 62-63.

Гашененко И.Н. Структура интегральных многообразий задачи о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 23-25 июня 2004 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. - С. 6.

Гашененко И.Н. Компьютерная реализация метода фазовых сечений в задаче о движении тела с неподвижной точкой/ И.Н. Гашененко, К.А. Ручкин// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 1-6 сент. 2005 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. - С. 5-6.

Брюно А.Д. Конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко// Устойчивость, управление и динамика твердого тела: межд. конф., 1-6 сент. 2005 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2005. - С. 72-73.

Гашененко И.Н. Об уравнениях движения твердого тела вокруг неподвижной точки/ И.Н. Гашененко, Г.В. Мозалевская, Е.И. Харламова// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2007. - С. 18-19.

Gashenenko I.N. The study of nonintegrable rigid body problems/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter, S. Schmidt// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 23-25 июня 2004 г.: тезисы докл. - Донецк: ИПММ НАНУ, 2004. - С. 6-7.

Gashenenko I.N. Finite solutions of the N. Kowalewski equations for motion of a rigid body about a fixed point/ I.N. Gashenenko// 12th Int. Conf. on Applications of Computer Algebra: 26-29 June 2006, Abstracts of Presentations. - Varna, Bulgaria, 2006. - P. 51.

Gashenenko I.N. Iso-energy manifolds and enveloping surfaces in the problem of rigid body motions/ I.N. Gashenenko, P.H. Richter// Классические задачи динамики твердого тела: межд. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл.- Донецк: ИПММ НАНУ, 2007. - С. 90-91.

Харламов П.В. Двухчастотные маятниковые движения гироскопов Чаплыгина и Ковалевской/ П.В. Харламов, И.Н. Гашененко// Всесоюз. конф. по устойчивости движения, колебаниям механических систем и аэродинамике: тезисы докл. - М., 1988. - Деп. в ВИНИТИ №8886-В-88.

Брюно А.Д. Последние разложения модифицированных движений твердого тела/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко. - М., 2005. - 13 с. - (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №65).

Брюно А.Д. Простые конечные решения уравнений Н. Ковалевского/ А.Д. Брюно, И.Н. Гашененко. - М., 2005. - 32 с. - (Препринт/ ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, №68).