Інтерполяційні задачі в узагальнених класах Неванлінни і Стілтьєса - Автореферат

Інтерполяційна проблема Неванлінни-Піка формулюється наступним чином: дано два набори, що складаються із скінченного числа точок Знайти голоморфну у верхній півплощині функцію з невідємною уявною частиною (функцію классу ), таку, що , (1) Пік у 1916 році отримав критерій розвязності інтерполяційної задачі в класі , а Р. У подальшому інтерполяційна проблема Неванлінни-Піка була як самостійним обєктом багатьох досліджень, так і слугувала додатком до нових методів дослідження в різних галузях аналізу, що виникали. Вперше звязок між проблемою Неванлінни - Піка та теорією операторів в гільбертовому просторі був виявлений в роботі Б.С. Потаповим у 1974 році була розглянута матрична задача Неванлінни - Піка.Лінійний простір що забезпечене індефінітним скалярним добутком називається простором Понтрягіна індексу , якщо простір має скінченну розмірність Канонічне розкладення простору дозволяє ввести в норму, (4) де (5) Говорять, що замкнене симетричне лінійне відношення , що діє в просторі Понтрягіна, має - властивість () якщо форма має відємних квадратів і існує самоспряжене розширення таке, що . Нагадаємо, що пару - матриць-функцій голоморфних в області називають узагальненою неванлінівською парою (чи-парою, ), якщо: ядро, , (11) має відємних квадратів в і а - пару називають узагальненою стілтьєсовською парою (чи-парою), якщо, , (12) Нехай = є мінімальним самоспряженим розширенням оператора індексу , що діє в просторі Понтрягіна і є - парою, що відповідає розширенню в силу формули узагальнених резольвент (2). Якщо матриця Піка невироджена, то простір є простором Понтрягіна з відємним індексом Понтрягіна , що дорівнює числу відємних властивих значень матриці .2) Отримано критерій рівномірної додатності (відємності) власних підпросторів самоспряженого розширення симетричного оператора в просторі Понтрягіна. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. 5) Побудовано операторну модель для бідотичної виродженої індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного відношення. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задач і множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного оператора.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

1) Для простого симетричного оператора в просторі Понтрягіна доведено існування його самоспряженого розширення із заданими регулярними точками.

2) Отримано критерій рівномірної додатності (відємності) власних підпросторів самоспряженого розширення симетричного оператора в просторі Понтрягіна.

3) Отримано операторне представлення - пар.

4) Побудована операторна модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх її рішень. Для дотичної інтерполяційної проблеми отримані достатні умови відсутності виключних параметрів.

5) Побудовано операторну модель для бідотичної виродженої індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного відношення.

6) Побудовано операторну модель для граничної індефінітної інтерполяційної задачі Неванлінни-Піка. Встановлено взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задач і множиною відповідних мінімальних самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка отримано опис всіх рішень інтерполяційної задачі.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ДИСЕРТАЦІЇ НАДРУКОВАНІ В РОБОТАХ

[1] Амиршадян А.А., Деркач В.А. Ободной индефинитной касательной проблеме Неванлинны-Пика // Доповіді НАН Украины.-1998.- №8.- С.7-11.

[2] Amirshadyan A.A., Derkach V.A. Interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes // J. of Operator Theory.-1999.- V.42.- P.145-188.

[3] Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских матриц-функций// Математические заметки.- 2003.- 73, вып.2-С.173-178.

[4] Амиршадян А.А. Интерполяция на спектре в классе обобщенных неванлинновских функций// Труды ИПММ НАН Украины.-2000.- т.5. -С.3-10.

[5] Амиршадян А.А. Граничная интерполяционная задача в классах обобщенных неванлинновских матриц-функций//Труды ИПММ НАН Украины.-2002.- т.7.-С.9-16.

[6] Амиршадян А.А. Вырожденная интерполяционная задача в обобщенных классах Неванлинны // Вісник Донецького Університету.-2000.-сер.А. вып.1 -С.14-17.

[7] Амиршадян А.А., Деркач В.А. О касательной проблеме Неванлинны - Пика - Такаги // Материалы вузовской конференции Донецького университета.-1997.-С.27-30.

[8] Amirshadyan A.A., Derkach V.A. Interpolation in Generalized Stieltjes Classes // 17th International Conference on Operator Theory. - 1998.- Timisoara, June 23 - 26. -P. 9-10.

[9] Amirshadyan A.A. Degenerated interpolation in generalized Nevanlinna and Stieltjes classes// Proceedings of the Ninth Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. -1999.- 9.-р.55-60.

[10] Amirshadyan A.A. Boundary interpolation problem in the classes of generalized Nevanlinna matrix - functions // 19th International Conference on Operator Theory. - 2002.- Timisoara, June 27 - July 2.

[11] Amirshadyan A.A. Boundary Interpolation Problem in the Classes of Generalized Nevanlinna Matrix Functions// I-а Літня школа з топологічноі алгебри i функціонального аналізу, Львів-Козева -2003. -P.21-22.

[12] Amirshadyan A.A. Boundary interpolation problem in the classes of generalized Nevanlinna matrix functions// 6th conference for young mathematicians.-2003.-Cracow, 22-28 September.-P.8-9.