Інтерполяція сплайнами - Курсовая работа

Особливо інтенсивний розвиток інтерполяції сплайнами відбувся в 50-70 роки ХХ століття, традиційною прикладною сферою використання інтерполяційних сплайнів стали в даний час системи автоматизованого проектування. У реальному світі велика кількість фізичних процесів за самою своєю природою є сплайнами. У механіці це деформація гнучкої пластини або стержня, зафіксованих в окремих точках; траєкторія руху тіла, якщо сила, що діє на нього змінюється ступінчасто (траєкторія штучного космічного обєкта з активними та інерційними відрізками руху, траєкторія руху літака при ступінчастій зміні тяги двигунів і зміні профілю крила і т. д.). Тобто, сплайн не надумана математична абстракція, а в багатьох випадках він є рішенням диференціальних рівнянь, що описують цілком реальні фізичні процеси.Одне із завдань знаходження невідомих чисельних значень будь-якої величини по відомим її значенням й, можливо, чисельним значенням інших величин, повязаних з нею - завдання про інтерполяцію значень функції. Нехай у крапках відомі значення деякої функції ; в крапках відомі значення першої похідної , і т.д., у крапках відомі значення ої похідної . Крапки (; ) називаються вузлами інтерполяції, а сукупність пар чисел - вихідні данні інтерполяції. Процес обчислення значення функції в крапці , відмінної від вузлів (), використовуючи вихідні данні й називається інтерполяцією функції . Розглянемо найпростіший випадок, коли інтерполяція виконується за значеннями крапок функції .Задача інтерполяції в цьому випадку ставиться так: на відрізку у вузлах інтерполяції задані значення функції значення . Вузли інтерполяції довільно відстоять друг від друга на відрізку тобто не рівновіддалені, та ,-крок інтерполяції. Якщо функція задана значеннями: в нерівновіддалених вузлах інтерполяції то потрібно побудувати інтерполяційну формулу Нютона для нерівновіддалених вузлів інтерполяції, так щоб в вузлах інтерполяції . Якщо розташовано на початку таблиці, тобто близько до , то застосовується перша інтерполяційна формула Ньютона через кінцеві різниці. Для інтерполяції наприкінці таблиці, тобто близький до , звичайно застосовують другу інтерполяційну формулу Ньютона через кінцеві різниці .Початок розвитку теорії інтерполяції сплайнами і сам термін сплайн налічують з 1946 року зі статті Айзека Шонберга (англ. Сплайном (spline) називали гнучку металеву лінійку - універсальне лекало, яке використовували креслярі для того, щоб гладко поєднати окремі точки на кресленні, тобто для графічного виконання інтерполяції. Отже, мається фізична модель сплайн-функції (або, навпаки, сплайн-функція є математичною моделлю гнучкої лінійки). Інтуїтивний підхід до використання кусочної функції в задачах апроксимації зустрічався в математиці протягом тривалого часу.Маємо таблично задану безперервну функцію на відрізку з рівно або нерівно віддаленими вузлами інтерполяціїСплайн Ерміта - це сплайн третього порядку, похідна якого приймає у вузлах сплайна задані значення. Сплайн Ерміта має безперервну першу похідну, але друга похідна у нього розривні. Однак, коли говорять "кубічний сплайн", то зазвичай мають на увазі конкретний вид кубічного сплайна, який виходить, якщо зажадати безперервності першої та другої похідних. Кубічний сплайн задається значеннями функції у вузлах і значеннями похідних на границі відрізка інтерполяції (або перших, або других похідних). Інтервал інтерполяції розбивається на невеликі відрізки, на кожному з яких функція задається поліномом третього ступеня.Нехай А - трьохдіагональна матриця, яка має вид: . Покладемо та запишемо дану систему в канонічному виді: (2.5.1)Інтерполяційним кубічним сплайном, що відповідає даній функції та даним вузлам, зветься функція , яка задовольняє наступним умовам: а) на кожному сегменті функція є багаточленом третього ступеню; На кожному з відрізків будемо шукати функцію у виді багаточлена третього ступеню: (2.6.2) де - коефіцієнти, що підлягають визначенню. Далі, вимога безпервності функції приводить до умов Звідси, враховуючи вираз для функцій отримуємо при рівняння: (2.6.10) Дві відсутніх умови отримують, задаючи ті чи інші граничні умови для Припустимо, наприклад, що функція відповідає умовам Тоді, природно вимагати, щоб Звідси отримуємо1. визначаємо крок по формулі: , (2.7.1)Дана таблична функція f(х): Таблиця 2.8.1-таблична функція хі 1 2 3 4 fi 5 3 2.5 2 Потрібно обчислити значення функції у точці х = 2.5, використовуючи сплайн-інтерполяцію. Вирішуємо цю систему рівнянь: З першого рівняння виразимо та підставимо до другого рівняння: звідсиВ ході виконання даної курсової роботи було розглянуто метод інтерполяції сплайнами та розроблена програма знаходження значення функції в визначеній точці на мові програмування Borland C 4.5.Дана таблична функція f(х): хі 1 2 3 4 fi 5 3 2.5 2 та точка х=2.5.

План

Вступ

1. Основні поняття теорії інтерполяції

1.1 Інтерполяція та екстраполяція

1.2 Види інтерполяції

2. Інтерполяція сплайнами

2.1 Історія сплайнів

2.2 Постановка задачі

2.3 Види сплайнів

2.4 Метод прогонки для розвязання систем лінійних рівнянь

2.5 Вивід формул методу інтерполяції сплайнами

2.6 Алгоритм методу інтерполяції функції кубічними сплайнами

2.7 Приклад використання інтерполяції кубічними сплайнами

Висновки

Список використаних джерел

Додаток

В ході виконання даної курсової роботи було розглянуто метод інтерполяції сплайнами та розроблена програма знаходження значення функції в визначеній точці на мові програмування Borland C 4.5.

1. В.І. Крилов та ін "Обчислювальні методи", 1том, М., Наука, 1976 р., с.304.

2. Г.Н. Воробьева, А.Н. Данілова, "Практикум з чисельних методів", М., Вища школа, 1979 р., с.184.

3. Даніліна Н.І., "Чисельні методи", М., Вища школа, 1976 р., с. 368.

4. Демидович Б.П., Марон І.А., "Основи обчислювальної математики", М., Наука, 1963 р., с.660.

5. Волков О.А. Чисельні методи: Учеб. Посібник для вузів - 2-е видання., Испр. - М.: Наука. Гол. ред. Фіз.-мат. Літ., 1987. - 248 с.

6. Калоєров С.А. Програмування на мові С : учбовий посібник. - Донецьк: "Південь-схід", 2009.