Метод Эйлера як найбільш простий чисельний метод рішення систем звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера з півкроком. Чисельне відшукання розв’язку задачі Коші методом Рунге-Кутта. Складання програм обчислень диференціальних рівнянь мовою С .
Аннотация к работе
Математика як наука виникла у связі з необхідністю рішення практичних завдань: вимірів на місцевості, навігації й т.д. Внаслідок цього математика була чисельною математикою, її метою було одержання рішення у вигляді числа.Задано початкові умови: і інтервал інтегрування: Необхідно проінтегрувати рівняння методами Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку й зрівняти отримані результати.Ламана Ейлера (червона лінія) - наближене рішення в пяти вузлах задачі Коші й точне рішення цієї задачі (виділено синім кольором, рис. Більше точним є метод Ейлера з півкроком, при якому спочатку обчислюють проміжні значення і находять значення напрямку поля інтегральних кривих у середній крапці , тобто , а потім знаходять (рис. Метод Рунге-Кутта найбільше часто вживається при чисельному відшуканні розвязку задачі Коші (2.1), при умові (2.2) і дозволяє одержати наближення високої точності. Геометрично цей метод для задачі Коші також полягає в тому, що на малому відрізку [х; х h] інтегральна крива у=у(х) рівняння (2.1) заміняється відрізком прямої, що проходить через точку (х; у(х)). Остаточний напрямок відрізка ламаної, що представляє наближений розвязок задачі, буде рівним і проводимо із точки пряму , до перетинання із прямої в точці , де вважаємо наближеним значенням розвязку в точці (рис.У Додатку А - програма обчислень за методом Ейлера з півкроком по формулах (2.3), а в Додатку Б - програма обчислень за методом Рунге-Кутта 4-го порядку по формулах (3.1).У даній роботі розглянуті два чисельні методи інтегрування системи диференціальних рівнянь: Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку. Наведено теоретичне обґрунтування кожного методу й алгоритми розрахунків. Складено програми мовою С і наведені результати розрахунків. Порівняння результатів, отриманих різними методами, показало, щобільше точним є метод Рунге-Кутта 4-го порядку. Главная редакция физико-математической литературы, 1967.
План
Зміст
Вступ
1. Постановка задачі
2. Метод Ейлера з півкроком
3. Метод Рунге-Кутта 4-го порядку
4. Результати розрахунків
Висновки
Список джерел інформації
Додаток А Додаток Б
Вывод
У даній роботі розглянуті два чисельні методи інтегрування системи диференціальних рівнянь: Ейлера з півкроком і Рунге-Кутта 4-го порядку.
Наведено теоретичне обґрунтування кожного методу й алгоритми розрахунків.
Складено програми мовою С і наведені результати розрахунків.
Порівняння результатів, отриманих різними методами, показало, що більше точним є метод Рунге-Кутта 4-го порядку.
Список джерел інформації
1. Демидович Б.П. Численные методы анализа / Б.П. Демидович, И.А. Марон, Э.З. Шувалова - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1967. - 368 с.
2. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин - М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1978. - 512 с.