Определение несобственного интеграла по неограниченному промежутку. Формула Ньютона-Лейбница для интегралов первого рода. Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для функций. Особенность на левом конце промежутка интегрирования. Простейшие теоремы.
Аннотация к работе
Термин интеграл (от лат. целый) был предложен учеником и сподвижником Лейбница Иоганном Бернулли. В этой курсовой работе рассмотрен один из видов интегралов имеющий большое значение в математическом анализе - несобственные интегралы. Поэтому, если интервал интегрирования или подынтегральная функция не ограничены, для определения интеграла требуется еще один предельный переход: получающиеся при этом интегралы называются несобственными интегралами. Когда этот предел, а значит и несобственный интеграл, не существует, то иногда говорят, что несобственный интеграл расходится. Если существует несобственный интеграл или то говорят, что несобственный интеграл или абсолютно сходится: если же последние интегралы сходятся (но первые расходятся), то несобственный интеграл или называются условно сходящимися.Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся. Пример 1: этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится. Аналогично интегралу с бесконечным верхним пределом интегрирования определяется интеграл в пределах от до b: и в пределах от до : . В последнем случае f(x) определена на всей числовой оси, интегрируема по любому отрезку; c - произвольная (собственная) точка числовой оси; интеграл называется сходящимся, если существуют и конечны оба входящих в определение предела.В приведенных примерах мы сначала вычисляли с помощью первообразной функции определенный интеграл по конечному промежутку, а затем выполняли предельный переход. Символом будем обозначать ; символом - соответственно, ; тогда можно записать интеграл сходится;До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: если существует конечный предел первообразной при соответствующем стремлении (или ), то интеграл сходится, в противном случае - расходится. Тогда, если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл (эти утверждения имеют простой смысл: если сходится интеграл от большей функции, то сходится интеграл от меньшей функции; если расходится интеграл от меньшей функции, то расходится интеграл от большей функции; в случаях, когда сходится интеграл от меньшей функции или расходится интеграл от большей функции, никаких выводов о сходимости второго интеграла сделать нельзя). При имеет место ; интеграл сходится сходится. интеграл сходится (p = 7 > 1), поэтому исходный интеграл сходится; (отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель); интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится.Пусть функция f(x) определена на полуинтервале (a, b], интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при . Несобственным интегралом от f(x) по отрезку [a, b]называется предел . Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b], имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: , интегрируема по любому отрезку, не содержащему точку c.Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Тогда: если сходится интеграл , то сходится интеграл ; если расходится интеграл , то расходится интеграл . В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, и в этом случае обычно берется интеграл от степенной функции типа . Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме дает правило: если при неотрицательная функция f(x) - бесконечно большая порядка роста ниже первого по сравнению с , то сходится; если f(x) имеет порядок роста единица или выше, то интеграл расходится. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку (12.1.4), а именно: несобственный интеграл от неограниченной функций называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл , и условно сходящимся, если интеграл сходится, а интеграл расходится (если сходится , то тоже обязательно сходится).Если ?(х) интегрируема в промежутке , то она интегрируема в промежутке , причем = -. Пусть функции ?(х) и g(x) - обе интегрируемы в промежутке ; тогда интегрируема и функция ?(х) ± g(x), и = . Если функция ?(х) интегрируема в , то при любом х из этого промежутка существует интеграл: ?(х)= и представляет собой непрерывную функцию от х. Пусть функции ?(х) и g(x) обе интегрируемы в промежутке , причем ?(х) ограниче
План
План
Введение
1. Несобственные интегралы по неограниченному промежутку (несобственные интегралы первого рода)
1.1 Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку
1.2 Формула Ньютона-Лейбница для несобственных интегралов
1.3 Признаки сравнения Абеляра и Дирихле для неотрицательных функций
2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода)
2.1 Особенность на левом конце промежутка интегрирования
2.2 Признаки сравнения для неотрицательных функций
2.3 Свойства и преобразования несобственных интегралов