Метод кластерних розкладів еволюційних операторів системи скінченного числа частинок, розв’язок початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова. Теорема існування розв’язку в кумулянтному представленні початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь.
Аннотация к работе
Відомо, що всі можливі стани систем частинок повністю описуються нескінченною послідовністю частинкових функцій розподілу, що задовольняють ланцюжок рівнянь Боголюбова (ієрархію рівнянь ББГКІ) - нескінченну систему інтегро-диференціальних рівнянь. Існує також інший підхід до опису еволюції нескінченних систем, який ґрунтується на дослідженні дуального (двоїстого) ланцюжка рівнянь Боголюбова, що визначає еволюцію спостережуваних величин системи. У звязку з розширенням сфери застосувань результатів математичної статистичної механіки, зокрема в математичній біології, математичній економіці, сучасних нанотехнологіях (наприклад, квантові кінетичні рівняння), спостерігається інтенсифікація досліджень математичної теорії цих рівнянь. ? довести теореми існування розвязку в кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей інтегровних і в просторі послідовностей обмежених функцій; ? довести теорему існування розвязку в кумулянтному представленні початкової задачі для дуального ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей обмежених функцій.Стан такої системи частинок описується послідовністю-частинкових функцій розподілу , які визначені на фазовому просторі системи частинок і задовольняють початкову задачу для ланцюжка рівнянь Боголюбова Метод нерівноважних кластерних розкладів полягає в тому, що в основу побудови розвязку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) у формі розкладу (3) можна покласти рекурентні співвідношення, які цілком характеризують еволюційні оператори з формули (3) й описують їх як члени розкладу для заданого еволюційного оператора (5), що визначає еволюцію системи частинок. У цьому ж підрозділі доведено: якщо задовольняє рекурентне співвідношення (6), то розклад (3) є розвязком початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) в просторі послідовностей інтегровних симетричних функцій з нормою де - число. Кумулянт (семиінваріант) еволюційного оператора скінченних груп частинок визначається як розвязок такого рекурентного співвідношення - кластерного розкладу еволюційних операторів (5): (7) де - сума за всіма можливими розбиттями множини на непорожніх підмножин що взаємно не перетинаються, , а множина належить до однієї з підмножин як її елемент. У підрозділі 2.3, згідно з кластерним розкладом (8), розвязок у кумулянтному представленні початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова (1), (2) визначено за формулоюУ дисертаційній роботі досліджено початкову задачу для ланцюжка рівнянь Боголюбова в просторі послідовностей інтегровних функцій і в просторі послідовностей функцій, обмежених по конфігураційних змінних та експоненціально спадних по імпульсних змінних. На основі методу кластерних розкладів побудовано нове представлення для розвязку початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова, а саме у формі розкладу по групах зростаючого числа частинок, еволюція яких описується кумулянтом (семиінваріантом) еволюційного оператора.