Знаходження непокращуваних нерівностей для похідних функцій зі спеціальних функціональних класів, розв"язок задачі про наближення необмежених операторів лінійними операторами. Узагальнена задача Колмогорова про існування елемента нормованого простору.
Аннотация к работе
Нерівності, що оцінюють норму проміжної похідної функції через норму самої функції та норму її похідної вищого порядку, називаються нерівностями типу Колмогорова та відіграють важливу роль у багатьох галузях математики, серед яких теорія наближення, функціональний аналіз, диференціальні рівняння, теореми вкладення, некоректно поставлені задачі, тощо. Для функцій, заданих на осі або напівосі, точні нерівності типу Колмогорова були отримані в роботах Г.Г. Для функцій, заданих на одиничному колі, важливі нерівності для похідних були отримані А.О. На напівосі та відрізку, окрім класичних ситуацій, досліджувалися також функції, які задовольняють певним обмеженням, наприклад, невідємність деякої кількості похідних, наявність певних крайових умов, тощо. Предметом дослідження є непокращувані константи в нерівностях типу Колмогорова для функцій з названих класів та модулі неперервності операторів диференціювання на них; лінійні оператори, обмежені на названих класах функцій, які є операторами найкращого наближення для операторів диференціювання; необхідні та достатні умови, яким задовольняють три задані додатні числа, що забезпечують існування елемента нормованого простору, норма якого та норми його образів при двох фіксованих лінійних відображеннях є заданими числами.Другий розділ присвячено дослідженню задачі про знаходження непокращуваних констант в мультиплікативних нерівностях типу Колмогорова на класах кратно монотонних і абсолютно монотонних на напівосі функцій, а також на класі . Також, в цьому розділі вивчається задача про знаходження величини найкращого наближення операторів диференціювання та дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля лінійними операторами, обмеженими на названих класах функцій. Оператором , , дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля називається оператор, що діє за правилом: де - ціла частина числа . Підрозділ 2.3 присвячено отриманню нерівностей типу Колмогорова для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля функцій з класу . В підрозділі 2.4 вивчається питання про існування нерівностей типу Колмогорова для абсолютно монотонних на напівосі функцій, коли замість похідних розглядаються результати застосування операторів, які є композиціями різницевих операторів та операторів дробового диференціювання в смислі Рімана-Ліувілля.В дисертаційній роботі досліджуються задача про знаходження непокращуваних констант в нерівностях типу Колмогорова для похідних функцій, що належать спеціальним класам, задача про найкраще наближення операторів диференціювання лінійними операторами, обмеженими на спеціальних класах функцій, та задача про існування функції з заданими нормами похідних. Знайдено нові непокращувані нерівності для похідних кратно монотонних на напівосі функцій та для дробових похідних в смислі Рімана-Ліувілля абсолютно монотонних на напівосі функцій та функцій з класу .