Отримання точних нерівностей для норм проміжних похідних функцій та розв"язання на цій основі важливих екстремальних задач аналізу. Вивчення тригонометричних поліномів і поліноміальних сплайнів. Взаємозв"язки точних нерівностей типу Колмогорова.
Аннотация к работе
Нерівності, що оцінюють - норму проміжної похідної функції через - норму функції і - норму її старшої похідної, мають велике значення для багатьох областей математики та їх застосувань (математичний аналіз, теорія апроксимації, диференціальні рівняння, теореми вкладення, обчислювальна математика, теорія некоректних задач, оптимізація алгоритмів та інших). Саме тому нерівності для норм проміжних похідних диференційовних функцій і їх аналоги стали називати нерівностями типу Колмогорова. Надь для функцій, що задані на числовій прямій і мають там похідну 1-го порядку, одержав точні нерівності, що оцінюють - норму функції через - норму функції і - норму її похідної. Нерівності такого типу називають нерівностями типу Надя або нерівностями різних метрик. В першому розділі при доведенні точних нерівностей типу Колмогорова для періодичних функцій однієї змінної застосовувались класичні методи дослідження задачі про точні константи в нерівностях типу Колмогорова: методи порівняння похідних функцій та їх переставлень.В першому розділі отримано точні нерівності типу (1) для періодичних функцій з показником для всіх () у наступних випадках: 1) , , або (теореми 1.1.1 та 1.1.4); У підрозділі 1.3 отримано нову теорему порівняння-переставлень Корнєйчука (теорема 1.3.9), що складає основу доведення точних нерівностей у випадках 2) і 4). Вперше точні нерівності такого типу для функцій отримав Надь. Отримано також різноманітні варіанти нерівностей типу Надя для , в яких норми замінено на найкращі та найкращі односторонні наближення константами, а також на характеристики типу , де - константа найкращого наближення функції в метриці простору (теореми 2.2.2 - 2.2.5). В підрозділі 2.1 отримано нові теореми порівняння переставлень (теореми 2.1.1 - 2.1.8), що складають основу доведення нерівностей другого розділу.В дисертаційній роботі подальший розвиток отримали методи розвязання вищевказаних задач, що дозволило одержати істотні результати, які полягають в наступному. Отримано ряд нових нерівностей типу Колмогорова-Надя для періодичних функцій, для функцій, що задані на півосі та скінченному відрізку, а також для функцій багатьох змінних. Виявлено взаємозвязки точних нерівностей типу Колмогорова, записаних у найбільш загальному вигляді (у вигляді нерівностей для опорних функцій опуклих множин), з рядом важливих екстремальних задач аналізу, таких як наближення одного класу функцій іншим, точні оцінки верхніх граней функціоналів на класах функцій, оцінки характеристик типу K-функціоналу.