Аналіз еволюції підходів до побудови теоретико-множинних моделей лямбда-числення. Вивчення оригінальних теоретико-порядкових характеризацій відповідних класів неперервних функцій, порівняльний аналіз цих понять неперервності функції з їх аналогами.
Аннотация к работе
На відміну від класичної математики, яка оперує з екстенсіональним поняттям функції, коли кожна функція ототожнюється зі своїм графіком, з точки зору прикладних та теоретичних питань, які виникають в програмуванні, логиці, дескриптології і т.і., трактування програм як функцій природно вимагає долучити до розгляду інтенсіональні поняття функції, тобто такі, які враховують, окрім графіку функції, також й спосіб її задання. Однак вичерпної відповіді на це питання немає й досі, оскільки, по-перше, серед останніх, на сьогоднішній день, не було знайдено жодної "точної" моделі (тобто такої, теорія якої співпадає з самою теорією лямбда), та, по-друге, ці моделі мають дуже складну математичну структуру, що заважає використовувати їх на практиці, наприклад, для побудови "зрозумілої" семантики мов програмування. Саме таке спрямування має дана дисертаційна робота; а саме, її присвячено дослідженню можливості побудови нових класів лямбда-моделей на базі підходу, що забезпечується оригінальними визначеннями неперервності функції, яка діє на частково впорядкованих множинах. Розглянуто нові поняття неперервної функції, що діє на частково впорядкованих множинах; сформульовано та доведено оригінальні теоретико-порядкові характеризації відповідних класів неперервних функцій; зроблено порівняльний аналіз цих понять неперервності функції з їх класичними аналогами. Показано, що одне з нових понять неперервності функції не призводить до нетривіальних лямбда-моделей, але інші два, що отримуються незначною, на перший погляд, модифікацією цього поняття неперервності функції, навпаки, призводять до нових класів лямбда-моделей, причому серед останніх є, зокрема, нетопологізуємі.В дисертаційній роботі було обрано поняття лямбда-алгебри та лямбда-моделі, які були визначені наступним чином. Аплікативна структура називається лямбда-алгеброю, якщо сукупність всіх лямбда-рівностей, що є істинними на , містить теорію лямбда. Аплікативна структура називається лямбда-моделлю, якщо для будь-якої оцінки r: X ® Кажуть, що U має достатньо багато точок, якщо за допомогою його точок можна розрізнити будь-яку пару різних епіморфізмів обєкта U (тобто для для будь-яких e0, e1: U ® U з того, що e0 ? e1, випливає існування такої точки x: T ® U, що x?e0 ? x?e1). Нехай K - клас деяких теоретико-множинних структур, замкнений відносно прямих добутків, і P - деяке поняття неперервної функції, що діє на структурах з K, і яке співставляє кожній парі K-структур K-структуру [A0 ® A1]P = [A0 ® A1] Р-неперервних функцій, що діють з A0 в A1, причому виконуються наступні умови: довільна функція f: A0?A1 ® B Р-неперервна тоді і тільки тоді, коли f неперервна за кожним аргументом;Для дослідження можливостей побудови теоретико-множинних моделей лямбда-подібних числень, які задовільняють тим чи іншим спеціальним властивостям, в дисертаційної роботі було виконано відповідні дослідження та отримано наступні головні результати. На базі цих характеризаційних властивостей лімітів спрямованостей зроблено вивчення та порівняльний аналіз відповідних класів неперервних (в новому сенсі) функцій з добре відомими класами неперервних функцій, таких як класи топологічно-та (o)-неперервні функції, а також класи функцій, що є неперервними за Скоттом.