Застосування абстрактної теорії індексу критичної точки до деяких нелінійних еліптичних крайових задач, які зводяться до рівнянь з недиференційовними операторами. Обертання векторного поля як фундаментальне поняття у алгебраїчній топології та аналізі.
Аннотация к работе
Першою спробою поширення топологічного інваріанту на нескінченновимірні відображення та його застосування до нелінійних диференціальних задач, була робота Г.Біркхофа, О.Келлога. Лише наприкінці 1960-х інтерес до нових задач, застосування до яких теорії Лере-Шаудера викликало великі складнощі або було принципово неможливим, викликав розвиток теорій ступеню для відображень, відмінних від цілком неперервних. У роботах І.В.Скрипника вперше було введено та знайшло багато важливих застосувань до рівнянь з частинними похідними - поняття обертання векторного поля класу a, яке пізніше розглядалось Ф.Е.Браудером, як ступінь відображень класу (S ). Кожний побудований ступінь знаходить своє коло застосувань, але тому типу нелінійних еліптичних задач, які вивчаються дисертантом, більш за все відповідає теорія ступеню щільно визначених відображень типу (S )0,L, яка була розвинена у роботі А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника. Окремий інтерес викликають теореми про індекс ізольованої критичної точки, а також їх застосування до оцінювання кількості розвязків та у задачах про точки біфуркації.В підрозділі 1.3 наведено огляд робіт щодо теорії ступеню відображень класу (S ), а також теорії індексу критичної точки для таких відображень. Нехай X є дійсним сепарабельним рефлексивним банаховим простором, що задовольняє умови: X1) існує обмежений демінеперервний оператор , який задовольняє умову (S ) для деякого , та при . Позначимо через пряму суму усіх інваріантних підпросторів оператора , які відповідають характеристичним числам цього оператора з інтервалу (0,1). Будемо вважати, що існує лінійний (можливо необмежений) оператор , який задовольняє умови , . Будемо вважати, що функції задовольняють умову та наступну умову: існують додатні константи такі, що для виконуються нерівності (5) та До того ж, нехай виконуються наступні умови на функцію : дійснозначна функція визначена для та є неперервно диференційовною, . існує додатна константа така, що для усіх виконується нерівністьВ дисертації досліджено питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів, а також застосування отриманих результатів до задач про точки біфуркації. Доведено теорему про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора, яка узагальнює результат роботи А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника . За допомогою абстрактної теореми доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора другого порядку для області довільної вимірності . Зясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі другого порядку. Доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора вищого порядку для плоскої області , тобто при .
План
Основний зміст
Вывод
В дисертації досліджено питання обчислення індексу ізольованої критичної точки недиференційовних еліптичних операторів, а також застосування отриманих результатів до задач про точки біфуркації.
Виділимо найбільш важливі результати, отримані у дисертації.
1. Доведено теорему про індекс критичної точки абстрактного недиференційовного оператора, яка узагальнює результат роботи А.Г.Картсатоса, І.В.Скрипника .
2. За допомогою абстрактної теореми доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора другого порядку для області довільної вимірності .
3. Зясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі другого порядку.
4. Доведено теорему про індекс критичної точки квазілінійного еліптичного оператора вищого порядку для плоскої області , тобто при . Ця теорема спирається на абстрактний результат, доведений у даній роботі. 5. Зясовано необхідні та достатні умови існування точки біфуркації відповідної еліптичної задачі вищого порядку.
6. Отримано корисні результати стосовно регулярності розвязків рівнянь для операторів другого та вищого порядків. До речі, теорему про регулярність розвязків рівнянь вищого порядку можна вважати деяким узагальненням результатів І.Нечаса та І.В. Скрипника.
7. Досліджено задачу із сильним зростанням коефіцієнтів (можливо експоненціальним). Зясовано достатні умови того, щоб щільно визначений оператор, який відповідає задачі, задовольняв умову (S )0,L. Це надало можливість введення поняття ступеню відображення та його застосування у питанні існування розвязків. Також доведено теорему про індекс критичної точки. Окремо розглянуто випадок рівняння, яке може мати необмежені розвязки.
Список литературы
1.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора второго порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2003. - Т.8. - С. 229-238.
2.Шраменко В.Н. Индекс критической точки недифференцируемого эллиптического оператора высшего порядка // Труды ИПММ НАН Украины.- 2004. - Т.9. - С. 221-231.
3.Шраменко В.М. Топологічні характеристики задач із сильним зростанням коефіцієнтів // Вісник ДОННУ, Серія А. - 2003. - Т.2. - С. 23-30.
4.Shramenko V.N. Application of the topological degree theory to a problem of resolvability of nonlinear elliptic dirichlet problems // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts of XIV International conference dedicated to J.P.Shauder. - Lviv. - 1999. - P.190.
5.Shramenko V.N. Index of a critical point for quasilinear elliptic operator of the second order // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. - Donetsk. - 2001. - P.111.
6.Shramenko V.N. The index of a critical point for densely defined potential mappings of type (S ) // Functional analysis and applications. Book of abstracts of International conference dedicated to Stefan Banach. - Lviv. - 2002. -P.184.
7.Shramenko V.N. Topological characteristics for one nonlinear elliptic operator // Book of abstracts of International conference on differential and functional differential equations. - Moscow. - 2002. - P.113.
8.Shramenko V.N. The index of a critical point for high order nondifferentiable elliptic operator // Nonlinear partial differential equations. Book of abstracts. - Donetsk. - 2003. - P.189.