Імпульсні диференціальні рівняння з многозначною та розривною правою частиною - Автореферат

У загальному випадку, із-за наявності імпульсної дії поведінка розвязків диференціальних рівнянь (навіть лінійних зі сталими коефіцієнтами) може бути суттєво нелінійною і значно відрізнятися від поведінки таких систем при відсутності імпульсної дії. В роботах Ю.О.Митропольського, А.Д.Мишкіса, М.О.Перестюка, А.М.Самойленка, D.Bainov, V.Lakshmikantham значна увага приділялась вивченню питань стійкості розвязків диференціальних рівнянь з імпульсною дією, розвитку теорії періодичних та майже періодичних розвязків імпульсних систем, дослідженню інваріантних множин, побудові асимптотичних розвинень за методом малого параметра Крилова - Боголюбова - Митропольського, методу порівняння, проблемам теорії оптимального керування, дослідженню імпульсних систем із випадковими збуреннями та ін. Слід відзначити, що вивчення динаміки довільних реальних процесів за допомогою диференціальних рівнянь з однозначною правою частиною відповідає ідеальній моделі, яка не враховує дії випадкових перешкод, похибок вимірювання вихідних даних, похибок при завданні функцій, що входять у праві частини диференціальних рівнянь. Багато фізичних процесів описуються диференціальними рівняннями з розривною правою частиною, при дослідженні яких також використовується апарат многозначного аналізу. Дисертація виконана в рамках тем “Дослідження асимптотичної поведінки розвязків диференціальних рівнянь якісними і аналітичними методами” (номер державної реєстрації 0101U008290), яка виконується на кафедрі диференціальних рівнянь Інституту математики, економіки та механіки Одеського національного університету ім.І.І.Мечникова та “Дослідження проблем теорії некласичних диференціальних рівнянь” (номер державної реєстрації 0101U05771), яка виконується на кафедрі інтегральних та диференціальних рівнянь Київського національного університету імені Тараса Шевченка.Перший розділ дисертації присвячений огляду першоджерел за темою роботи - дослідження імпульсних диференціальних рівнянь, диференціальних включень, диференціальних рівнянь з розривною правою частиною та імпульсних диференціальних включень; визначено напрямки досліджень дисертаційної роботи та викладено її основний зміст. В другому розділі дисертації розглядаються лінійні диференціальні включення з імпульсами у фіксовані моменти часу. Многозначна функція є R-розвязком, що породжений імпульсним диференціальним включенням ,, якщо абсолютно неперервна на проміжках, що не містять и для майже всіх а при функція задовольняє умові стрибка Для включення (3) справедливі наступні твердження: (а) для стійкості R-розвязку необхідно і достатньо, щоб матрицанти були рівномірно обмежені при ; Доведено, що якщо існує, то В підрозділі 2.4. розглядаються лінійні імпульсні диференціальні рівняння з імпульсами в невизначені моменти часу, доведена компактність жмутка розвязків, одержані умови стійкості та існування періодичного жмутка розвязків.Наведені в ній результати доповнюють дослідження імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною і розривною правою частиною.

Основний зміст роботи

Дисертаційна робота носить, в основному, теоретичний характер. Наведені в ній результати доповнюють дослідження імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною і розривною правою частиною. При цьому отримано наступні нові наукові результати: · отримані умови стійкості звичайних розвязків та R-розвязків лінійного однорідного імпульсного диференціального включення, вивчено звязок між стійкістю розвязків (R- розвязків) неоднорідного і відповідного йому однорідного імпульсного диференціального включення;

· отримані умови існування періодичних звичайних розвязків та R-розвязків для лінійних імпульсних диференціальних включень, вивчено звязок між початковими множинами цих розвязків;

· доведена компактність жмутка розвязків для лінійних диференціальних рівнянь з імпульсами в невизначені моменти часу, одержані умови стійкості та існування періодичного жмутка розвязків;

· отримана апроксимація жмутка розвязків лінійного імпульсного диференціального включення, використовуючи розвязки систем рівнянь з похідною Хукухари та р - похідною;

· доведено аналог теореми М.Красносельского - С.Крейна для диференціальних включень, що підлягають та не підлягають імпульсному впливу;

· для імпульсних диференціальних рівнянь з розривною правою частиною доведені теореми про властивості жмутка розвязків, а також розглянуте питання існування періодичних квазірухів.

Отримані результати можуть бути перенесені на більш загальний випадок імпульсних диференціальних рівнянь з многозначною та розривною правою частиною, а також використані при вивченні динаміки систем в умовах невизначеності та в задачах керування.