Нестандартные приемы решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, изучаемых на дополнительных занятиях и при решении олимпиадных задач. Типовые задания на решение уравнений и неравенств. Задания тестовых вариантов Единого Национального Тестирования.
Аннотация к работе
Рассмотрим понятие абсолютной велечины числа, или, что то же самое, модуля числа для действительных чисел. Определение 1.1.1 Абсолютной величиной (модулем) действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чиисел а или -а.2.1 Решение уравнений и неравенств с использованием определения абсолютной величины (модуля).Помимо приведенных мною выше способов существует определенная равносильность, между числами и модулями данных чисел, а также между квадратами и модулями данных чисел: (1). Опорная информация: Пример 2.2.1: Решим уравнение | двумя различными способами. a) Учитывая соотношение (1), получим: или Корень первого уравнения , корень второго уравнения.Применение метода интервалов основано на следующей теореме: Теорема 2.3.1: Функция, непрерывная на промежутке и необращающаяся на нем в нуль, сохраняет на этом промежутке свой знак. Метод интервалов позволяет решать более сложные уравнения и неравенства с модулями, но в этом случае он имеет несколько иное назначение. Находим корни всех подмодульных выражений и разбиваем числовую ось на промежутки знакопостоянства этих выражений.Суть данного метода заключается в использовании графиков функций для нахождения корней уравнения.Пример 2.5.1: Решим уравнение . Исходя из определения модуля, произведем следующие рассуждения.Решение уравнений вида. По определению абсолютной величины, данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем: и В силу четности функции ее корни будут существовать парами противоположных чисел, т.е. если - корень уравнения, то и также будет корнем данного уравнения. Ответ: 1;2. Решению подлежат два уравнения: и . После преобразования(сложения) получим: и и и , или Пример 2.6.4: Решение.Метод раскрытия модулей рассмотрим на примере: Пример 3.1: 1 Решить уравнение. Решение. Рассматриваем уравнение на каждом из промежутков и устанавливаем знак выражений, которые находятся под модулями. Возьмем значение из промежутка и подставим его значение в выражение , получаем , значит на этом промежутке отрицательно, а следовательно ``выйдет"" из под модуля со знаком ``минус"", получим: .Пример 3.2.1: 7 Чему равна сумма корней уравнения (корень, если он один) уравнения. Решение.Геометрический смысл выражения - длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок. Пример 3.3.1: 13 Решим уравнение . Решение. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка - нет.Все уравнения с модулями могут быть решены следующим образом: рассмотрим весь набор уравнений, который может получится при раскрытии модулей, но не будем выписывать соответствующие промежутки. Решая каждое из полученных уравнений, получим следствия исходного уравнения.В ходе прохождения практики в разных источниках школьного курса математики былы найдены уравнения и неравенства с модулем которые учащиеся затруднялись решать. Пример 4.1: Найти сумму всех корней уравнения . Решение. Ответ: 0.Многие учителя математики, основываясь на свой опыт, считают, что так как в средней общеобразовательной школе (6 - 9 кл) тема «Решение уравнений и неравенств с модулем» не выделена отдельно нужно на протяжении всех четырех лет отводить уроки для последовательного рассмотрения основных способов решений таких уравнений и неравенств. Тогда в 10 - 11 классах освободиться время для нестандартных методов решений многих задач содержащих модуль. Следовательно, Ответ:1;8. б). Находят О.Д.З. исходного уравнения.