Составление уравнения Эйлера, нахождение его общего решения. Нахождение с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа оптимального управления, минимизирующего функционал для системы. Использование метода динамического программирования для решения уравнений.
Аннотация к работе
Контрольная работа «Методы оптимизации при решении уравнений» Задание №1 Определить, существует ли кривая , доставляющая функционалу экстремум и, если существует, то найти ее уравнение. Решение: Составим уравнение Эйлера и найдём его общее решение: Используем краевые условия: Решаем систему уравнений и получаем: Таким образом, экстремаль имеет уравнение вида Так как то функционал на прямой достигает минимума. Задание №2 Найти, используя уравнение Эйлера-Лагранжа, оптимальное управление , минимизирующее функционал для системы, описываемой уравнениями , при начальных и конечных условиях соответственно: A B t0 tf x0 xf a b 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 Решение Формируем задачу по исходным данным: (1) (2) Составим функцию Лагранжа и гамильтониан: и соответственно уравнения Эйлера-Лагранжа (здесь для Н): (3) (4) Используя замену (3), подставим выражения (4) во второе уравнение динамики в (1): и находим общее решение (5) Подставим его в первое уравнение (1): и находим общее решение: (6) Для из (6) и из (5) используем начальные и конечные условия и получаем систему уравнений для констант С1, С2, С3, С4,: Таким образом, решение имеет вид: которое удовлетворяет начальным и конечным условиям.