Теория массового обслуживания – область прикладной математики, анализирующая процессы в системах производства, в которых однородные события повторяются многократно. Определение параметров системы массового обслуживания при неизменных характеристиках.
Аннотация к работе
Задача теории массового обслуживания - установить зависимость результирующих показателей работы системы массового обслуживания (вероятности того, что заявка будет обслужена; математического ожидания числа обслуженных заявок и т.д.), от входных показателей (количества каналов в системе, параметров входящего потока заявок и т.д.). Исходными параметрами, характеризующими систему массового обслуживания, являются: число каналов обслуживания - n; число требований - m; интенсивность поступления одного требования на обслуживание - ?, то есть число поступлений требований в единицу времени; интенсивность обслуживания требований - ?. Если система находиться в состоянии Sk (занято k каналов) и пришла новая заявка, система переходит (перескакивает) в состояние Sk 1 Тогда, как только закончиться обслуживание заявки, занимающей этот канал, система перейдет в S0; значит, поток событий, переводящий систему по стрелке S1 ® S0, Имеет интенсивность m. Очевидно, если обслуживанием занято два канала, а не один, поток обслуживаний, переводящий систему по стрелке S2 ® S1, будет вдвое интенсивнее (2m); если занято k каналов - в k раз интенсивнее (km).В данном курсовом проекте представлена тема "Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания". В данной работе в первой части решения задачи проводится ее анализ, т.е. определяются основные параметры функционирования СМО при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках. В ходе решения первой части задачи мы определили такие основные параметры функционирования СМО: интенсивность нагрузки , предельные вероятности и вероятность отказа , относительную пропускную способность Q, абсолютную пропускную способность , среднее число заявок, связанных с системой , среднюю длину очереди D, время в очереди W0, время в системе Wc, среднюю сумму штрафа за месяц Сштр, затраты на один канал f, затраты на пост в месяц F, прибыль поста Z. Во второй, третьей и четвертой частях решения задачи проводился синтез - оптимизация СМО. В четвертой части решения задачи проводится оптимизация по двум параметрам, т.е рассматривается функция .
План
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Вывод
В данном курсовом проекте представлена тема "Математическое моделирование и оптимизация системы массового обслуживания". Системы массового обслуживания имеют огромное практическое применение в наше время, что показано в рассмотренном примере.
Целью данного курсового проекта было определение
- параметров работы системы;
- оптимального числа инспекторов на посту при сохранении остальных условий задачи;
- оптимальных затрат на оборудование при неизменных остальных условиях задачи
- параметров работы системы при паре оптимальных параметров.
Данная задача является СМО с ограниченной очередью или СМО с ожиданием. В данной работе в первой части решения задачи проводится ее анализ, т.е. определяются основные параметры функционирования СМО при неизменных, наперед заданных исходных характеристиках. Исходные характеристики - это интенсивность потока требований , максимальная длина очереди m, количество каналов обслуживания n, среднее время обслуживания одним каналом , интенсивность обслуживания требований . В ходе решения первой части задачи мы определили такие основные параметры функционирования СМО: интенсивность нагрузки , предельные вероятности и вероятность отказа , относительную пропускную способность Q, абсолютную пропускную способность , среднее число заявок, связанных с системой , среднюю длину очереди D, время в очереди W0, время в системе Wc, среднюю сумму штрафа за месяц Сштр, затраты на один канал f, затраты на пост в месяц F, прибыль поста Z. При решении задачи использовались формулы Эрланга. Во второй, третьей и четвертой частях решения задачи проводился синтез - оптимизация СМО. Здесь действия направлены на поиски оптимальных параметров СМО. Во второй и третьей частях определяются оптимальное число инспекторов на посту и затраты на оборудование соответственно, при неизменных остальных условиях задачи. Рассматриваются функции и , строятся их графики. В четвертой части решения задачи проводится оптимизация по двум параметрам, т.е рассматривается функция .
Модель СМО реализована с помощью программы MS Excel. Все расчеты выполнялись при помощи данной программы, что упростило процесс решения задач оптимизации. В процессе нескольких реализаций работы СМО были получены результаты функционирования системы. На основе полученных данных были построены графики, позволяющие провести исследование работы СМО. С помощью графиков проведен анализ полученных данных и сделаны выводы о работе системы. Из графика (рис.3) и по значениям в таблице 1 видно, что максимальная прибыль достигается при значении n=8 и равна 1635431 руб. в месяц. При прочих постоянных параметрах, выгоднее нанять 24 инспектора (по 8 инспекторов одновременно). Из графиков (рис.4, 5) и по значениям таблиц 2 и 3 видно, что если на посту работает одновременно 5 инспекторов, то наиболее выгодно вложить 1581 рубль в день в аренду техники для каждого инспектора. Тогда прибыль за месяц будет оптимальной и равной примерно 1764 тыс. 17 рублей. Из графиков (рис.6, 7) и таблиц 4,5 видно, что имея возможность менять число инспекторов на посту и арендовать ускоряющую технику, нужно организовать работу так, чтобы на посту одновременно находилось 4 инспектора, и для каждого из них арендовать техники на 2000 рублей в день. Это позволит получить прибыль 1779337 рублей в месяц.
Итак, создание имитационной модели системы массового обслуживания позволяет получить информацию, характеризующую приспособленность рассматриваемой системы для выполнения поставленных перед ней задач. Анализ численных значений критериев позволяет сделать выводы относительно реальной эффективности системы и выработать рекомендации по ее повышению.
Список литературы
Основная литература: 1. Клейнрок Л. Теория массового обслуживания. М.: Машиностроение, 1979.
2. Матвеев В.Ф., Ушаков В.Г. Системы массового обслуживания. М.: Изд-во МГУ, 1984.
3. Советов Б.А., Яковлев С.А. Моделирование систем, М: Высшая школа, 1985.
Периодические издания: 4. Иголкин В.Н. Об оптимизации одной системы массового обслуживания // Вопросы механики и процессов управления. Вып.15. СПБ.: Изд-во СПБГУ, 1992.