Основные положения теории математического моделирования. Структура математической модели. Линейные и нелинейные деформационные процессы в твердых телах. Методика исследования математической модели сваи сложной конфигурации методом конечных элементов.
Аннотация к работе
Для конкретной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, свойства которых меняются в результате поведения системы. Такое разделение системы с указанием связей между выделяемыми частями дает представление о системе в целом и на время изучения системы сохраняется неизменным. В процессе функционирования системы могут измениться свойства и характеристики группы элементов, модуля и системы в целом. Процессом назовем набор состояний системы, соответствующий упорядоченному непрерывному или дискретному изменению некоторого параметра, определяющего характеристики (свойства) системы. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов, составляющих систему; случайность и неопределенность факторов, действующих в системе; многокритериальность оценок процессов, протекающих в системе; большая размерность системы [1-9].
Введение
Целью излагаемой работы является изучение основных теоретических положений математического моделирования деформаций грунтового основания сваи сложной конфигурации и отдельного численного метода исследования математических моделей системы свай сложной конфигурации: метода конечных элементов.
1.
Основы теории математического моделирования
1.1 Основные определения и понятия
В общем случае под системой понимают конечное множество элементов и связей между ними и между их свойствами, действующими как целостное образование для достижения единой цели.
Элементом называется некоторый объект (материальный, информационный и др.), обладающий рядом определенных свойств, но внутреннее строение (содержание) которого безотносительно к цели рассмотрения.
Связью называют важный для целей рассмотрения обмен между элементами веществом, энергией, информацией, т.е. фактор, связывающий элементы и их свойства в единое целое. Связи позволяют посредством переходов от элемента к элементу соединить два любых элемента совокупности.
Свойства - это качества параметров объектов, они могут изменяться в результате действия системы. Свойства дают возможность описывать объекты системы количественно.
Любая система характеризуется двумя признаками: связностью, т.е. наличием связи между элементами;
функцией, суть этого качества в том, что свойства системы отличаются от свойств отдельных ее элементов.
В задачах механики деформируемого твердого тела системы содержат элементы разных типов и обладают разнородными связями между ними. Такие системы называют сложными или большими и сложными, в зависимости от количества элементов и их содержания. Сложные системы имеют ряд характерных особенностей. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов системы; большая размерность системы. Всякая система существует в некоторой окружающей среде, обуславливается ею и имеет свою границу. Говорят, что система действует внутри ее. Для конкретной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, свойства которых меняются в результате поведения системы. Отсюда следует, что разделение пространства на две совокупности - система и окружающая среда - несколько условно и может носить субъективный характер [1,2].
Главными отличительными чертами сложной системы является ее целенаправленный характер (цель функционирования), структурное представление, т.е. наличие выделяемых частей (подсистем) и вероятностный характер ее взаимодействия с внешней средой. Выделяемые части системы могут иметь материальную, функциональную, алгоритмическую и другую основу. Между выделяемыми частями всегда устанавливается связь. Такое разделение системы с указанием связей между выделяемыми частями дает представление о системе в целом и на время изучения системы сохраняется неизменным. Близким к понятию структуры является термин «декомпозиция».
Декомпозицией называется деление системы на части, удобное для каких-либо операций с этой системой. Важнейшим стимулом и сутью декомпозиции является упрощение системы, слишком сложной для рассмотрения целиком. Такое упрощение может: 1. фактически приводить к замене системы на некоторую другую, в каком-то смысле соответствующую исходной. Это делается вводом гипотез об отбрасывании или ослаблении отдельных связей в системе;
2. полностью соответствовать исходной системе и при этом облегчать работу с ней - такая декомпозиция, называемая строгой, требует специальных процедур согласования.
Группа элементов системы, описываемая только своими входами и выходами и обладающая определенной целостностью, называется модулем. Система может представляться набором модулей и сама рассматриваться как модуль. Модульное построение системы, как правило, определяет ее декомпозицию. Нередко оно определяет и структуру. Любой элемент системы обладает рядом свойств. В процессе функционирования системы могут измениться свойства и характеристики группы элементов, модуля и системы в целом. Зафиксируем все значения характеристик в системе, важных для целей рассмотрения. Такую ситуацию назовем состоянием системы. Пусть хотя бы одна такая характеристика изменилась. Это будет новое состояние системы. Аналогично можно рассматривать третье и т.д. состояния, т.е. их набор. Но набор состояний это еще не процесс. Пусть выбран некоторый физический параметр (чаще всего время) - такой, что различные состояния соответствуют разным его значениям. Процессом назовем набор состояний системы, соответствующий упорядоченному непрерывному или дискретному изменению некоторого параметра, определяющего характеристики (свойства) системы.
1.2 Математическое моделирование
Если система определена и возможно описание ее функции с помощью логики математических предложений, то поведение системы исследуют математическими средствами, средствами вычислительной техники. При этом реальной системе должен быть поставлен в соответствие некоторый абстрактный ее образ, называемый математической моделью, адекватно отражающий основные закономерности и особенности оригинала. Таким образом, математическая модель - это конечная совокупность логико-математических предложений, адекватно описывающих определенные качества системы-оригинала. Примерами математических моделей могут быть в принципе любые логико-математические предложения. Самое простейшее из них - уравнение прямой y = kx, самое сложное - совокупность дифференциальных уравнений и логических условий. Основной особенностью математических моделей является их вариативность, т.е. возможность одним знаковым описанием кодировать большое количество конкретных вариантов поведения системы, что дает возможность достаточно объемного их исследования. Математическая модель концентрирует в себе записанную в форме математических предложений совокупность наших знаний, представлений и гипотез о соответствующем объекте, процессе, явлении или системе. Поскольку эти знания никогда не бывают абсолютными, более того, как правило, всегда не учитываются при математическом моделировании некоторые известные эффекты, то можно утверждать, что математическая модель только с определенной достоверностью описывает поведение реальной системы. Поэтому при построении математических моделей систем необходимо учитывать следующие основные требования: адекватность, универсальность, точность и экономичность.
Адекватность. Математическая модель считается адекватной исходной системе, если она отражает заданные ее свойства с допустимой точностью. Пусть модель имеет m выходных параметров, тогда погрешность модели емод можно представить как норму вектора е = { е1, е2, …, ем }; емод = max I ej I, j = 1,m; или емод = , где
- относительная погрешность модели по j-у выходному параметру, yjв , yj - вычисленное и действительное значение j-го выходного параметра. Должно выполнятся условие емод < епред , где епред - предельная допустимая погрешность. Область в пространстве внешних параметров, для которой выполняется это условие, называется областью адекватности модели.
Универсальность. Это характеристика полноты отображения в модели исследуемых свойств реальной системы.
Точность. Оценивается точность математической модели степенью совпадения значений параметров исходной системы и значений тех же параметров, вычисленных с помощью оцениваемой математической модели.
Экономичность. Эта характеристика стоимости решения модели по разработанному алгоритму на компьютере.
Основное назначение математического моделирования - сделать возможными некоторые выводы о поведении реальной системы в пространстве и времени. Наблюдения за реальной системой (натурный эксперимент) в лучшем случае могут дать материал лишь для проверки той или иной гипотезы, той или иной модели, поскольку они представляют собой источник информации ограниченного объема о прошлом этой системы. Модель допускает значительно более широкие исследования, результаты которых дают информацию для прогнозирования поведения системы. Чтобы обеспечить эти и другие возможности математической модели, приходится всегда решать проблему адекватности модели и системы, т.е. ставится вопрос исследования согласованности результатов с реальной ситуацией. Создавая математическую модель, исследователь познает систему, т.е. выделяет ее как объект изучения из окружающей среды и строит ее формальное описание в соответствии с поставленными целями и имеющимися возможностями. В дальнейшем через поведение математической модели анализируется поведение реальной системы при различных входных воздействиях.
1.3
Структура математической модели
Математических моделей существует достаточно большое многообразие, которое можно определенным образом классифицировать. Классификация может происходить по различным признакам и качествам, что показано в таблице 1.1.
Таблица 1.1 - Классификация математических моделей
Признак классификации Математические модели
1 Характер отображаемых свойств объекта Структурные, функциональные
2 Принадлежность к иерархическому Уровню Микроуровни, макроуровни, Метауровни
3 Степень детализации описания внутри одного уровня Полные, макромодели
4 Способы представления свойств объекта Аналитические, алгоритмические, имитационные
5 Способы получения модели Теоретические, эмпирические
Любая математическая модель может быть классифицирована по каждому из приведенных признаков. Математические модели, используемые в настоящей работе, могут быть классифицированы как функциональные, теоретические, аналитические, микро- и макроуровневые, полные.
Математические модели могут иметь следующие основные формы представления.
· Инвариантная: математические и логические предложения модели записываются в традиционной математической форме безотносительно к методу исследования математической модели.
· Алгоритмическая: модель записывается в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели, т.е. выходные параметры представляются как явные функции внутренних и внешних параметров.
· Схемная: модель представляется на некотором графическом языке, например, на языке графов, эквивалентных схем, диаграмм и т.п. Иногда эту форму записи называют графической.
К числу алгоритмических моделей относится класс имитационных моделей.
Математические модели имеют ряд общих свойств. Основными являются
· Линейность или нелинейность. Это свойство характеризует форму зависимости параметров состояния элементов системы от входных факторов, линейность или нелинейность модели в целом. Указанные свойства могут быть как естественным так и искусственным качеством модели.
· Непрерывность или дискретность. Это качество выражается в структуре множеств параметров состояния, процесса и выхода системы. Дискретность этих множеств обуславливает дискретность модели, а их непрерывность обуславливает непрерывность модели. Дискретность или непрерывность модели также может быть качеством естественным или искусственно созданным, например, представление некоторой непрерывной математической функции таблицей ее значений в определенных точках.
· Детерминированность или стохастичность. Модель называется стохастической (вероятностной), если среди входных воздействий (входов), выходных воздействий (выходов), параметров постоянных или изменяющихся свойств системы во время ее рассмотрения имеются случайные (вероятностные) характеристики.
· Стационарность или нестационарность. Модель считается стационарной, если все правила ее определяющие стационарны. Чаще всего стационарность выражается в неизменности во времени определенных физических величин.
Для определенности также отметим, что в дальнейшем будем считать, что рассматриваемые модели имеют конечное число входов и выходов - свойство конечности модели.
Математические модели строят на основе законов и закономерностей, выявленных фундаментальными науками. Следует сразу отметить, что построение математической модели системы процесс не формализованный и носит поисковый характер, т.е. это путь проб и ошибок в поиске основной идеи. В конечном счете, может быть построено несколько моделей одного и того же процесса или явления, но выбирают только одну, максимально отвечающую требованиям практики. Построение принципиально новой математической модели системы может быть оценено как открытие.
Для построения математических моделей используют различные методы, которые можно объединить в две группы: формальные и неформальные методы. Формальные методы применяют для построения математических моделей систем при известных математических моделях элементов. Неформальные методы применяются для синтеза теоретических и эмпирических математических моделей. Теоретические математические модели создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу систем. Эмпирические математические модели создаются в результате изучения внешних проявлений свойств системы. Для большинства систем, в частности для всех систем механики грунтов, теории упругости и механики деформируемого твердого тела, используются типовые элементы. Поэтому разработка математических моделей элементов производится сравнительно редко. Однажды созданные математические модели элементов используются при разработке математических моделей систем из этих элементов. Примером таких математических моделей элементов на микроуровне являются конечные элементы для анализа напряженно-деформированного состояния деформируемых тел.
Математическая модель системы получается как синтез математических моделей ее элементов. Правила синтеза обусловлены структурой и свойством исходной системы и ее элементов.
В общем случае эта структурная схема может быть представлена следующим образом: 1. Математическая модель среды существования системы, 2. Математическая модель состояния среды системы или объекта, 3. Условия связи системы с внешней средой, 4. Математическая модель основной функции системы, 5. Математическая модель результата решения.
Математическое наполнение элементов этой структуры зависит от класса моделируемых задач и даже от особенностей задач одного класса. Для краевых задач механики грунтов приведенная структурная схема будет иметь такой вид: 1. Геометрическая и структурная модели деформируемой среды, 2. Уравнения состояния элементов структуры деформируемой среды, 3. Система краевых условий, 4. Условия равновесия (устойчивости) системы, 5. Математическая модель результата решения.
Наиболее трудным этапом системных исследований является построение и оценка адекватности математической модели реальной системе или объекту. Предлагаемая структурная схема является общим эффективным алгоритмом построения математических моделей систем.
В процессе математического моделирования исследователь имеет дело с тремя объектами.
1. С системой (реальной, проектируемой, воображаемой ).
2. С математической моделью системы.
3. С алгоритмической (машинной ) моделью.
В соответствии с этим возникают следующие задачи.
1. Определение и формирование системы
2. Построение математической модели системы.
3. Разработка алгоритмической (машинной) модели.
4. Разработка программного комплекса.
В современной науке и технике возникающие проблемы, как правило, сводятся к построению математических моделей систем и разработке методов их исследования. Наиболее эффективным методом исследования систем является метод вычислительного эксперимента.
2. Деформирования твердых тел
2.1 Линейные деформационные процессы
Теория упругости изучает вопросы деформирования и напряжения различных упругих тел, возникающих под действием внешних сил.
Величины внешних, т.е. поверхностных нагрузок, а также внутренних сил характеризуются их интенсивностью, т.е. величиной усилия, приходящегося на единицу площади поверхности, на которую они действуют. При рассмотрении внутренних усилий эту интенсивность обычно называют напряжением. Это название можно сохранить и для внешних нагрузок, если они распределены на рассматриваемой области сплошным образом.
Если DP обозначим усилие, приходящееся на рассматриваемую элементарную площадку DS, то указанное выше напряжение вычисляется следующим образом:
Заметим, что такая формулировка понятия напряжения непременно предполагает тело сплошным, непрерывным.
Внешнюю силу, произвольно ориентированную в пространстве в декартовой системе координат можно представить в виде составляющих
Px, Py, Pz, имеющих ориентацию по осям координат. При обозначении напряжения одного индекса недостаточно, так как кроме направления действия составляющей, необходимо еще определить и площадку, на которую она действует. Напряжения представляют в виде двух составляющих: нормальное s?и касательное t напряжения. Индекс нормального напряжения указывает ту ось, параллельно которой направлена составляющая. Касательные напряжения имеют два индекса: первый индекс соответствует оси, параллельно которой действует составляющая, а второй индекс указывает на направление нормали к площадке, на которую действует составляющая. На рис.1 представлены составляющие напряжения в декартовой системе координат.
Рис.1
Для составляющих напряжения принимается следующее правило знаков: нормальное напряжение считается положительным, когда оно вызывает растяжение, и отрицательным, когда оно вызывает сжатие. Для касательных напряжений положительным направлением будет то, которое совпадает с направлением координатной оси.
Под деформацией понимают изменение линейных размеров тела. Деформация любого элементарного объема может быть представлена состоящей из ряда отдельных простейших деформаций, т.е. разложена на составляющие. В случае элементарного параллелепипеда имеется шесть составляющих деформации: три ее линейные составляющие (удлинение ребер) и три угловые составляющие (сдвиги).
Относительные удлинения ребер обозначают e?? с индексом, указывающим направление удлинения. Положительными линейными деформациями считаем удлинения, отрицательными - укорочения. Считается, что положительному сдвигу соответствует уменьшение угла между положительными направлениями осей, отрицательному - увеличение тех же углов. Углы сдвига, проектирующиеся на плоскость x y, обозначим gxy (или gyx). Соответственно для остальных плоскостей углы сдвига gyz (или gzy) и gzx (или gxz). При элементарных деформациях первого рода (удлинение ребер) меняется объем параллелепипеда и его форма, рис.2а; а при деформациях второго рода (сдвиги) объем остается неизменным, изменяется лишь форма, рис.2б.
Рассмотрим сплошное твердое тело, прикрепленное к опорам таким образом, что оно не может перемещаться. Тогда перемещения любой точки этого тела могут произойти только в результате деформации этого тела. Обозначим U,V,W проекции полного перемещения некоторой точки на оси координат Ox, Oy, Oz и назовем их компонентами смещения.
а) б)
Рис.2 Виды деформаций: а) удлинение ребер, б) сдвиг.
Компоненты смещения различны для различных точек и являются функциями координат точки: U=f1(x,y,z), V=f2(x,y,z), W=f3(x,y,z).
Полное смещение точки определяется выражением
.
Запишем дифференциальные уравнения равновесия в статическом (динамическом) виде:
Здесь r - плотность вещества, X, Y, Z - проекции на соответствующие оси объемной силы, отнесенной к единице массы. Выражения в скобках для правой части используется в случае движения.
Перемещения определяются деформациями тела, эта зависимость выражается уравнениями
Эти уравнения также называют геометрическими или уравнениями Коши.
Наличие всех компонентов напряжений, показанных на рис.1, определяет следующие составляющие деформации:
где E, G - модули деформации и сдвига, m - коэффициент Пуассона, . 2.2. Нелинейные деформационные процессы.
В основе классической теории упругости лежит представление об упругом и линейно деформируемом теле. Для такого тела принимают наиболее простую, линейную, зависимость между слагающими деформациями и возникающими при этом напряжениями. Диаграмма растяжение-сжатие для такого материала в обычных координатах "напряжение-деформация" представляется прямой линией, выходящей из начала координат.
Если для материала не применим закон Гука или рассматриваемое состояние деформации перешло за предельно упругое, т.е. в изучаемом диапазоне деформаций диаграмма растяжений материала представляется явно выраженным отрезком кривой (рис.3), то в этих случаях в качестве физического закона необходимо принять уравнение этой кривой: s = f(e).
Рис.3 Диаграмма растяжения для нелинейного материала.
Допустим, что процесс медленной разгрузки происходит по кривой ВАО, причем в обратном порядке наблюдаются те же состояния, что и при нагрузке по ОАВ. Если процесс ОАВ окажется обратимым, такое тело назовем нелинейно-упругим. Теорию, устанавливающую законы деформации в таком теле, называют нелинейной теорией упругости [1,2,7,8].
Основную предпосылку нелинейной теории упругости можно сформулировать следующим образом: при сложном напряженном состоянии зависимость между интенсивностью напряжений и интенсивностью деформаций для каждой точки тела принимается такой же, как зависимость напряжения с удлинением при простом растяжении того же тела.
В общем случае под системой понимают конечное множество элементов и связей между ними и между их свойствами, действующими как целостное образование для достижения единой цели.
В настоящей работе рассматриваются системы, элементами которых могут быть недеформируемые и деформируемые твердые тела, рассмотренные совместно с их свойствами и связями. Свойства системы зависят от свойств составляющих ее элементов, но в целом будут другими. В задачах механики деформируемого твердого тела и механики грунтов системы содержат элементы разных типов и обладают разнородными связями между ними. Такие системы называют сложными или большими и сложными, в зависимости от количества элементов и их содержания. Сложные системы имеют ряд характерных особенностей. Основными из них являются: уникальность, слабая структурированность теоретических и фактических знаний о системе, составной характер системы, разнородность подсистем и элементов, составляющих систему; случайность и неопределенность факторов, действующих в системе; многокритериальность оценок процессов, протекающих в системе; большая размерность системы [1-9]. Всякая система существует в некоторой окружающей среде, обуславливается ею и имеет свою границу. Говорят, что система действует внутри ее. Для конкретной системы окружающая среда есть совокупность всех объектов, изменение свойств которых влияет на систему, а также тех объектов, свойства которых меняются в результате поведения системы. Отсюда следует, что разделение пространства на две совокупности: система и окружающая среда - несколько условно и может носить субъективный характер.
Главными отличительными чертами сложной системы является ее целенаправленный характер, структурное представление, т.е. наличие выделяемых частей (подсистем), и вероятностный характер ее взаимодействия с внешней средой. Выделяемые части системы могут иметь материальную, функциональную, алгоритмическую и другую основу. Между выделяемыми частями всегда устанавливается связь. Такое разделение системы с указанием связей между выделяемыми частями дает представление о системе в целом и на время изучения системы сохраняется неизменным.
Из изложенного очевидно, что исследование систем деформируемых твердых тел методологически и функционально имеет принципиальные отличия от методов исследования отдельных деформируемых твердых тел.Основу этой методологии составляют математическое моделирование систем, численные методы исследования математических моделей систем, методы и технология программирования и вычислительный эксперимент. Содержательный уровень этих составляющих методологии является определяющим фактором полноты и точности исследования состояния систем деформируемых твердых тел любой природы и свойств. А это значит, что в качестве исходной задачи может быть определена такая система, что ее исследование даже современными средствами математики и вычислительной техники будет очень проблематичным. Например, в задачах механики грунтов элементами исследуемой системы будут слои нелинейно-деформируемого грунтового основания, конструктивные элементы фундаментов и здания, определенные в многосвязной пространственной области.
3.Построение математической модели поставленной задачи
При исследовании сложных систем деформируемых твердых тел, в том числе и систем грунтовых оснований, фундаментов и зданий; возникают задачи двух типов: задачи анализа и задачи синтеза. Содержание задач анализа состоит в изучении физического содержания и свойств исследуемой системы и ее внешней среды. Задачи синтеза сводятся к определению структуры системы и (или) ее параметров, обеспечивающих условия ее эффективности по определенным критериям. Выполнение всех этих задач можно представить следующими этапами: Этап 1. Формирование задачи исследования, определение основной цели исследования и условий устойчивого существования системы в окружающей среде.
Этап 2. Содержательное описание и точная постановка задачи. Сущность решаемой проблемы и допустимая область ее решения. Оценка значимости и непротиворечивости факторов, влияющих на состояние системы.
Этап 3. Формализация задачи: разработка математической модели исследуемой системы. Разработанная модель системы должна отвечать условиям содержательности и дедуктивности. Содержательность - это способность модели отражать существенные свойства исследуемого процесса или физической системы. Дедуктивность - это возможность использования модели для получения результата с применением средств и методов предметной области.
Этап 4. Определение разрешимости исследования разработанной математической модели системы. Здесь выделяются следующие подэтапы: ? исследование принципиальной разрешимости;
? выбор метода исследования;
? исследование технической реализуемости.
Принципиальная разрешимость исследования математической модели системы и выбор метода ее исследования определяется уровнем развития математических методов, применяемых в конкретной предметной области. Вопрос технической реализуемости определяется уровнем развития вычислительной техники и соответствующей технологии обработки информации. Перечень математических методов, применяемых при решении различных задач исследования математических моделей сложных систем, обширен, но он никогда не может быть достаточным. Для исследования систем механики деформируемого твердого тела и механики грунтов применяется аппарат линейной и нелинейной теории упругости, теории пластичности, теории предельного равновесия и др.
Этап 5. Разработка алгоритма решения задачи.
Этап 6. Разработка и отладка программного обеспечения.
Этап 7. Вычислительный эксперимент и анализ результатов.
Каждый из этих этапов содержит свои проблемные задачи, решение которых представляло прежде и в настоящее время представляет определенные трудности.
Первые опубликованные теоретические исследования по механике упругих тел, очевидно, принадлежат Галилею; его знаменитая книга «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению» была издана в 1638 году.
Первая публикация о нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями сделана Бюльфингером в трудах Российской академии наук в 1729 году.
Большой вклад в развитие методов теории упругости внесли русские ученые: Н.И. Безухов, И.Г. Б.Г. Галеркин, А.А. Ильюшин, Л.М. Качанов, С.Г. Лехницкий, В.В. Новожилов, С.И. Работнов, А.Р. Ржаницин, С.П. Тимошенко, М.М. Филоненко-Бородич, и другие.
Значительный вклад в разработку и развитие методов исследования напряженно-деформированного состояния деформируемых твердых тел различной природы и свойств внесли и современные ученые Беларуси: В.Н. Абрашин, А.А. Борисевич, С.В. Босаков, Ю.В. Василевич, М.А. Журавков, М.Д. Мартыненко, Ю.М. Плескачевский, И.А. Прусов и другие.
Учитывая многообразие условий, определяющих состояние систем деформируемых твердых тел, для их исследования специалистами был выбран двухступенчатый подход: экспериментальные методы исследования и теоретические работы по математическому моделированию систем. Уровни содержания каждого из этих подходов определялись многими факторами, но в целом такой подход логически обоснован и в настоящее время он не потерял своей значимости.
Системный подход
Часто выполнение одних задач исследования системы затрудняет решение других, но в целом основным и единственным критерием оценки функционирования подсистем должно быть обеспечение максимума эффективности системы. Следовательно, свойства системы, как сложного объекта, не обнаруживаются в свойствах ее отдельных подсистем. Это значит, что традиционный метод изучения целого путем анализа его частей и последующего объединения (суперпозиции) их свойств непригоден для больших и сложных систем. А для физических нелинейных систем принцип прямой суперпозиции и вовсе неприемлем. Решением проблемы становится системный подход, суть которого состоит во взаимосвязанном рассмотрении всех элементов (подсистем) системы. При системном подходе система рассматривается не изолированно, а как подсистема более общей системы. Основным при системном подходе является определение цели, например, условие предельного равновесия деформируемой среды. Для каждой цели должен быть выбран свой надежный критерий эффективности. Например, для деформируемых систем это может быть удовлетворение принципа стационарности полной энергии системы. Системный подход характеризуется системой принципов. Принципы системного подхода - это некоторые утверждения общего характера, обобщающие опыт человека по исследованию сложных систем. Основные принципы следующие: 1. Принцип конечной цели: абсолютный приоритет конечной цели.
2. Принцип единства: совместное рассмотрение системы как целого и как совокупности частей (элементов).
3. Принцип связности: рассмотрение любой части системы совместно с ее связями.
4. Принцип модульного построения: полезно выделение модулей в системе и рассмотрение ее как совокупности модулей.
5. Принцип иерархии: полезно введение иерархии частей и (или) их ранжирование.
6. Принцип функциональности: совместное рассмотрение структуры и функции с приоритетом функции над структурой.
7. Принцип развития: учет изменяемости системы, ее способности к развитию, расширению, замене частей, накапливанию информации.
8. Принцип децентрализации: сочетание в принимаемых решениях и управлении централизации и децентрализации.
9. Принцип неопределенности: учет неопределенностей в системе.
Системный подход при исследовании различных систем, явлений, объектов позволяет с единых позиций строить общую методологию их исследования независимо от их природы. Эта методология, как и любая другая, содержит определенные этапы.
Этап 1. Определение системы.
Определение системы и области ее существования.
Определение исследуемой функции системы.
Определение краевых условий.
Декомпозиция системы вплоть до простых элементов.
Определение свойств элементов системы и модулей.
Нахождение связей между элементами и модулями системы.
Этап 2. Построение математической модели.
1. Формальное описание исследуемой функции.
2. Разработка дискретной модели системы.
3. Разработка алгоритмической модели.
4. Разработка программного обеспечения (машинной модели).
5. Проверка адекватности математической модели системы.
Этап 3. Исследование системы при различных входных воздействиях и совершенствование модели системы.
При исследовании систем механики деформируемого твердого тела идеи системного подхода находят применение. Проблемы возникают в связи с количеством объектов исследуемых систем, разнородностью их свойств и изменением этих свойств в процессе функционирования системы. К причинам создающим указанную проблему относятся задачи исследования систем нелинейно-деформируемых твердых тел и неприменимость к ним принципа прямой суперпозиции.
4.Методика моделирования методом конечных элементов деформации грунтового основания сваи сложной конфигурации
4.1 Метод конечных элементов деформации грунтового основания сваи сложной конфигурации
Для поставленной задачи математическая модель может быть получена исходя из подходов, основанных на тех или иных принципах механики деформируемого твердого тела. Воспользуемся принципом полной энергии системы. Однако здесь необходимо решить вопрос об определении среды существования системы. При численном решении система должна быть определена в конечном подпространстве полупространства, на котором задана исходная задача. Это подпространство определяется исходя из заданных граничных условий.
Учитывая симметричность исходной задачи ее решение будем проводить в цилиндрической системе координат и все вычисления можно выполнить только для половины меридионального сечения системы.
Исходя из сведений о размерах области существования системы, математическая модель исходной задачи может быть представлена следующим образом: Механико-математическая модель основания при линейно - упругом деформировании: i=E i.
2) Граничные условия: U = V = 0 при r=rmax, 0<z zmax, U = V = 0 при z=zmax, 0 r rmax, U = 0 при r=0, 0 < z zmax, Y = 0 при r=0, 0 < z < zmax, Y = P при z=0, 0 r R, Y = 0 при z=0, R < r < rmax, X = 0 при z=0, , 0 r < rmax, где R - радиус сваи.
3) Ядро математической модели (условия равновесия системы):
где П = .
4) Геометрическая модель области существования системы описана в п. 2.
5) Модель решения: = 0 1r 2z
При дискретизации среды по методу конечных элементов математическая модель системы будет иметь также дискретное представление. В описании непрерывной математической модели все пункты преобразовываются в дискретную форму. В этом случае пункт 3 будет иметь вид: [K]{U}={P}, где [K] - матрица жесткости, {U} - вектор узловых перемещений, {P} - вектор внешних узловых сил.
Граничные условия представляются дискретно для всех узлов границы.
Таким образом, численное решение поставленной задачи сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с ленточной симметричной матрицей [K]{U}={P} при удовлетворении граничных условий.
Для поставленной задачи математическая модель может быть получена, исходя из различных подходов, основанных на тех или иных принципах механики деформируемого твердого тела. Воспользуемся принципом полной энергии системы. Однако, здесь необходимо решить вопрос об определении среды существования системы. При численном решении система должна быть определена в конечном подпространстве пространства, на котором задана исходная задача. Это подпространство определяется исходя из заданных граничных условий.
Учитывая симметричность исходной задачи (рис. 4.3), для рассмотрения можно использовать любой сегмент фундамента.
Исходя из сведений о размерах области существования системы, математическая модель исходной задачи может быть представлена следующим образом: механико-математическая модель основания при нелинейно-упругом деформировании: si=Aeim-1?ei ;
граничные условия (при указанных на рис. 4.3. размерах): а) перемещения на границе:
б) на поверхности приложена сила: ;
ядро математической модели: ;
геометрическая модель области существования системы описана в пункте 2);
5) модель решения: j=a0 a1x a2y a3z.
При дискретизации среды по методу конечных элементов математическая модель системы будет иметь также дискретное представление. В описании дискретной математической модели изменится пункт 3. В этом случае пункт 3 будет иметь вид: ,
где [K] - матрица жесткости, - вектор узловых перемещений, - вектор внешних сил.
2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы / В.В. Воеводин. - М.:Наука, 1966
3. Партон В.З. Методы математической теории упругости / В.З. Партон, П.И.Перлин. - М.: Наука, 1981. - 688с.
4. Быховцев В.Е. Численные методы математической физики / В.Е. Быховцев - Гомель: УО> 2013.-106с.
5. Александров А.В., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности.- М.: ВШ, 1990.-400с.
6. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести.- М: ВШ, 1968. - 512с.
7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. - М.: Госиздат, 1962.- 639с.
8. Быховцев В.Е. Компактный алгоритм построения матрицы жесткости в методе конечных элементов // Изв. АН БССР. Серия физ.- мат. наук, 1983.- №1.- С.34-37.