Принципы и этапы построения математической модели движения неуправляемого двухколесного велосипеда. Условия устойчивого движения. Вопрос гироскопической стабилизации движения. Модель движения велосипеда с гиростабилизатором в системе Matlab (simulink).
Аннотация к работе
В применении к роботам общая постановка задачи математического моделирования может быть сформулирована следующим образом: построить математическую модель опорно-двигательной системы мобильного робота, состоящей из платформы (у велосипеда это рама) и колес, прикрепленных к платформе. Модели первого приближения при решении ряда задач позволяют либо получать новые результаты, которые по точным моделям получить не удается, в силу их сложности, либо получать уже известные результаты, но более простым методом. Так в задачах исследования устойчивости движения в случае, когда движение, соответствующее приближенной модели, асимптотически устойчиво, движение, соответствующее точной модели, по теореме Ляпунова об устойчивости по первому приближению, также будет асимптотически устойчивым. Подобные модели, методы построения моделей, методы исследования устойчивости движения могут использоваться при проектировании различных транспортных средств, их оптимизации, исследования их устойчивого движения, в том числе при расчете условий устойчивого движения сельскохозяйственной техники при движении ее по крутым склонам. Для получения уравнений движения велосипеда вводятся следующие системы координат (рис 2): 1) неподвижная система координат ; 2) подвижная система координат , которая движется поступательно вместе с опорной точкой переднего колеса, (оси системы параллельны соответствующим осям системы ); 3) подвижная система координат , (оси системы параллельны главным осям инерции колеса, однако система не связана с колесом жестко, с системой связана только ось колеса).Проведено численное исследование устойчивости движения велосипеда при разных соотношениях между массой рамы и массой колеса велосипеда.Устойчивое движение велосипеда начинается с некоторого критического значения скорости движения велосипеда. При увеличении скорости движения велосипеда устойчивость прямолинейного движения повышается. Увеличение соотношения массы рамы к массе колеса ведет к снижению устойчивости движения велосипеда и повышает критическое значение скорости устойчивого движения. Устойчивость движения велосипеда можно повысить с помощью гироскопической стабилизации. Это приводит к тому, что отличие угла поворота заднего колеса от угла поворота переднего колеса обуславливается наклоном рулевой оси, ее смещением относительно центра масс переднего колеса и величиной так называемого выноса.
Вывод
1. Построена математическая модель первого приближения для движения элементарного велосипеда с жесткими колесами по горизонтальной плоскости.
2. Проведено численное исследование устойчивости движения велосипеда при разных соотношениях между массой рамы и массой колеса велосипеда.
3. Построены графики зависимости угловой скорости устойчивого движения от параметра k, определяющего отношение массы рамы к массе колеса велосипеда.
4. Проведено аналитическое исследование устойчивости движения велосипеда в частном случае при нулевой массе рамы.
5. Проведено исследование устойчивости движения велосипеда с гироскопической стабилизацией.1. Устойчивое движение велосипеда начинается с некоторого критического значения скорости движения велосипеда. При увеличении скорости движения велосипеда устойчивость прямолинейного движения повышается.
2. Увеличение соотношения массы рамы к массе колеса ведет к снижению устойчивости движения велосипеда и повышает критическое значение скорости устойчивого движения.
3. Устойчивость движения велосипеда можно повысить с помощью гироскопической стабилизации.
Замечание. В данной работе постановка задачи отличается от постановки задачи в работах [3, 4]. В данной работе сразу строится модель первого приближения, а в работах [3, 4] сначала строится точная модель, а затем она линеаризуется. В работах [3, 4] рассматривается статическое положение велосипеда без учета собственного вращения колес. Это приводит к тому, что отличие угла поворота заднего колеса от угла поворота переднего колеса обуславливается наклоном рулевой оси, ее смещением относительно центра масс переднего колеса и величиной так называемого выноса. Это приводит к ошибочному результату. Действительно, если взять элементарный велосипед, у которого рулевая вилка вертикальна, и проходит через центр переднего колеса, то по формулам (6.70), Бутенин [3, с. 235], получается, что угол поворота заднего колеса равен углу поворота переднего колеса. Очевидно, что это не так. Для элементарного велосипеда угол поворота заднего колеса меньше угла поворота переднего колеса [8]. При этом если велосипед не движется, то при любом повороте переднего колеса, заднее колесо остается неподвижным. Если при движении велосипеда угол поворота переднего колеса остается постоянным, то угол поворота заднего колеса изменяется, постепенно приближаясь к углу поворота переднего. Отметим также, что в работе [3] утверждается: неуправляемый велосипед будет двигаться устойчиво в некотором интервале скоростей . В данной работе условие устойчивости движения представлено односторонним неравенством .
Список литературы
1. Бондарь А.И. Построение приближенной модели и исследование устойчивости движения велосипеда. // Труды Новосибирского архитектурно - строительного университета, Т.11, №1, Новосибирск, 2008, с. 78-105, (есть в интернете)
2. Bourlet C. Traite des bicycles etbicyclettes // Paris: Gauthier-Villars, 1898
3. Неймарк Ю.И. Динамика неголономных систем // Ю.И. Неймарк, Н.А. Фуфаев.-М: Наука, 1967. - 519 с.
4. Бутенин Н.В., Введение в аналитическую механику. // Н.В. Бутенин, Н.А. Фуфаев. - М., «Наука», 1991, 255 с.
5. Мартыненко Ю.Г. Управление движением мобильных роботов., // Мартыненко Ю.Г. Фундаментальная и прикладная математика. - т. 11, вып. 8, 2005, с. 29-80.
6. Ленский А.В. Двухколесный робот-велосипед с гиростабилизатором. // А.В. Ленский, А.М. Формальский. Изв. РАН. Теория и сист. управления. - 2003, №3, с. 176-183
7. Бондарь А.И. Построение приближенных моделей сферического движения твердого тела // Бондарь И.М., Бондарь А.И - Вычислительные технологии, Т. 12, №4, 2007, с. 27-41 (есть в интернете)
8. Бондарь И.М. Моделирование движения кинематически зависимых тел. // Бондарь И.М., Бондарь А.И - Труды Новосибирского архитектурно - строительного университета, Т.12, №2, Новосибирск, 2009, с. 84-97 (есть в интернете)
9. Алфутов Н.А. Устойчивость движения и равновесия // Н.А. Алфутов, К.С. Колесников. - М: Из-во МГТУ им. Баумана, 2003. - 253 с.