Дискретная минимаксная задача с ограничениями на параметры. Применение решений минимаксных задач в экономике с помощью математического пакета Maple. Математические пакеты Maple и Matlab. Основные средства решения минимаксных задач в среде Марle-языка.
Аннотация к работе
В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем (Maple, Mathematics, MATLAB. Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Система аналитических вычислений Maple - хороший выбор для проведения любого исследования, где требуется математика - от курсовой работы до научного открытия. Математический пакет Maple - интеллектуальный лидер в своих классах и образец, определяющий развитие компьютерной математики. Язык Maple - это функции и команды сравнительно небольшого по объему, но быстрого ядра, написанного на языке Си, основной библиотеки, содержащей около 500 команд и функций, написанных уже на собственном языке Maple, и большого количества специализированных библиотек, также написанных на собственном языке Maple и расширяющих “способности” Maple в различных областях математики.Было показано, что при фиксированном функция является непрерывной по функцией на всем пространстве . Поскольку множество , при любом фиксированном является замкнутым и ограниченным, то отсюда следует, что функция достигает своего минимума на . При из теоремы 2.1 следует необходимое условие минимума непрерывно дифференцируемой функции на выпуклом множестве : для того чтобы непрерывно дифференцируемая функция достигала своего минимального на значения в точке , необходимо, а в случае выпуклости на и достаточно, чтобы (2.9) Если , то точка является стационарной точкой функции на множестве , ибо в этом случае, очевидно, выполняется условие (3.1). Вектор , называется направлением наискорейшего спуска функции на множестве в точке , если Теорема 3.2.Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Матричные игры - игры, в которых участвуют два игрока (I и II) с противоположными интересами, причем каждый игрок имеет конечное число чистых стратегий. Если игрок I имеет m стратегий, а игрок II - n стратегий, то игра может быть задана (m n)-матрицей где есть выигрыш игрока I, если он выберет стратегию , а игрок II - стратегию . Например, игра с матрицей имеет седловую точку при , а значение игры равно 2; игра с матрицей не имеет седловой точки. События на сетевом графике (или, как еще говорят, на графе) изображаются кружками (вершинами графа), а работы - стрелками (ориентированными дугами): ? - событие, - работа (процесс), - фиктивная работа - применяется для упрощения сетевых графиков (продолжительность всегда равна 0).В данной курсовой работе были рассмотрены примеры решения минимаксных задач при помощи пакета программ Maple. Благодаря повышению функциональности редактора повысилась надежность аналитических вычислений, написание программ и оформление рабочего документа Maple стали более удобными. Особенно важно то, что Maple - не просто калькулятор, способный аналитически решать многие задачи, а легко обучаемая система. Усвоив несложный, но эффективный язык Maple, пользователь может изменить существующие процедуры или пополнить систему новыми, приспособленными для решения нужных ему задач. Несмотря на то что язык программирования Maple позволяет решать и такие задачи, программы будут выполняться медленнее, чем на компилируемых языках.Решить транспортную задачу по следующим исходным данным: Символ в матрице указывает, что для данной коммуникации нет ограничений по пропускной способности. > minimize(z,{sum(x[1,j],j=1..4)=25,sum(x[2,j],j=1..4)=55,sum(x[3,j],j=1..4)=20,sum(x[i,1],i=1..3)=45,sum(x[i,2],i=1..3)=15,sum(x[i,3],i=1..3)=20,sum(x[i,4],i=1..3)=20,x[1,3]<=15,x[2,1]<=15,x[2,4]<=10},NONNEGATIVE); Пусть задана ориентированная 2-полюсная сеть, один полюс - вход, другой - выход, весовые коэффициенты дуг - максимальные пропускные способности дуг. Требуется определить максимальную пропускную способность сети. Геометрическое решение данной задачи основано на теореме Форда-Фалкерсона, согласно которой максимальная пропускная способность сети равна минимальной пропускной способности сечений сети.
Введение
В настоящее время научное программирование претерпевает серьезную трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, и растет применение универсальных математических систем ( Maple, Mathematics, MATLAB. MATCAD и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и обладают собственными языками программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное применение математических пакетов в научных исследованиях и в преподавании. Система аналитических вычислений Maple - хороший выбор для проведения любого исследования, где требуется математика - от курсовой работы до научного открытия. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять задания, устраивать демонстрации и гораздо быстрее решать исследовательские и инженерные задачи.
Математический пакет Maple - интеллектуальный лидер в своих классах и образец, определяющий развитие компьютерной математики. Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд современных пакетов. Сам пакет постоянно совершенствуются, развивая аппарат и пополняя ресурсы. Пакет Maple - мощная и хорошо организованная система, надежная и простая в работе. Освоение даже части его возможностей даст несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая эффективность от взаимодействия с ним. Еще одним достоинством пакета является неизменность набора основных команд и конструкций языка при появлении новых версий.
Язык Maple - это функции и команды сравнительно небольшого по объему, но быстрого ядра, написанного на языке Си, основной библиотеки, содержащей около 500 команд и функций, написанных уже на собственном языке Maple, и большого количества специализированных библиотек, также написанных на собственном языке Maple и расширяющих “способности” Maple в различных областях математики. Пожалуй, наиболее важная особенность системы - открытость архитектуры, т.е. возможность редактировать и изменять подпрограммы библиотек, а также пополнять библиотеки собственными подпрограммами. Благодаря этому за короткое время было создано большое число Maple-подпрограмм, целиком написанных пользователями из самых разных областей науки и техники. Лучшие подпрограммы пополняют библиотеку пользователей, так называемую Share-библиотеку, которая распространяется вместе с пакетом Maple.
К настоящему времени программа Maple превратилась в мощную вычислительную систему, предназначенную для выполнения сложных проектов. Maple умеет производить сложные алгебраические преобразования и упрощения над полем комплексных чисел; находить конечные и бесконечные суммы, произведения, пределы и интегралы; находить все корни многочленов; решать аналитически и численно алгебраические (в том числе трансцендентные) системы уравнений и неравенств, а также системы обыкновенных дифференциальных уравнений и некоторые классы уравнений в частных производных. В Maple включены специализированные пакеты подпрограмм для решения задач линейной и тензорной алгебры; евклидовой и аналитической геометрии; теории чисел; комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики; теории групп; численной аппроксимации и линейной оптимизации (симплекс-метод); финансовой математики; для выполнения интегральных преобразований и многих других задач.
Вывод
В данной курсовой работе были рассмотрены примеры решения минимаксных задач при помощи пакета программ Maple.
Благодаря повышению функциональности редактора повысилась надежность аналитических вычислений, написание программ и оформление рабочего документа Maple стали более удобными.
Особенно важно то, что Maple - не просто калькулятор, способный аналитически решать многие задачи, а легко обучаемая система. Совершенно ясно, что как бы ни была совершенна программа, всегда найдется много специальных задач, которые оказались за пределами интересов разработчиков. Усвоив несложный, но эффективный язык Maple, пользователь может изменить существующие процедуры или пополнить систему новыми, приспособленными для решения нужных ему задач. Эти процедуры можно включить в одну из библиотек, снабдить подсказками, так что они гармонично впишутся во всю систему. Мне кажется, что именно по этой причине система приобрела большую популярность.
Следует заметить также, что далеко не все задачи поддаются аналитическому расчету и приходится применять численные методы. Несмотря на то что язык программирования Maple позволяет решать и такие задачи, программы будут выполняться медленнее, чем на компилируемых языках. Так что решение задач, требующих большого объема численных вычислений, в среде Maple неэффективно. Именно поэтому в системе имеются средства перекодировки программ с языка Maple на Си и Фортран.
Пакет Maple удобен при оформлении отчета, дипломной работы, диссертации или подготовке материала для публикации. Он с высоким полиграфическим качеством изобразит математические формулы, построит красивые графики, а если вам потребуется профессиональное качество оформления, то вы сможете, используя встроенную в систему процедуру, преобразовать рабочий лист в формат LATEX - стандартный формат научно-технических публикаций.
Maple несложно приспособить для учебных целей. С ее помощью легко проверить любой математический расчет, наглядно представить результат вычислений или проиллюстрировать закон природы, выраженный формулой. Обучаться математике, другим техническим дисциплинам, а также методам программирования с помощью Maple не только легко, но и приятно.
Maple подтверждает лидерство корпорации Maple Waterloo среди разработчиков программ символьной математики и дает специалистам новые превосходные возможности для повышения производительности и комфортности труда. Отмечу, что разработчики некоторых известных математических пакетов, таких, как MATHCAD и MATLAB, приобрели лицензию на использование основной библиотеки Maple в своих программах для обеспечения отдельных аналитических расчетов.
Список литературы
1. Аладьев В.З., Шишаков М.Л. Автоматизированное рабочее место математика. Лаборатория базовых знаний, 2000. - 752 c.
2. Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. Решение задач вычислительной математики в пакетах Mathcad 12, MATLAB 7, Maple 9/Алексеев Е.Р., Чеснокова О.В. - М.: НТ Пресс, 2006. -496 с.
3. Гарнаев А.Ю. Использование MS Excel и VBA в экономике и финансах. СПБ.: БХВ - Санкт-Петербург, 2000. - 336.
4. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании. Питер, 2001. - 624 с.
5. Говорухин В.Н., Цибулин В.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997.
6. Демьянов В.Ф., Малоземов В.Н. Введение в минимакс, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1972, с.368.
7. Дьяконов В. Maple 7. Учебный курс. - Питер, 2002. - 672 с.
8. Иллюстрированный самоучитель по Maple 9.
9. Калихман И.Л. Сборник задач по математическому программированию. Изд. 2-е, доп. и перераб. М., «Высшая школа», 1975.
10. Матричные игры. [Сборник переводов], под редакцией Н. Н. Воробьева, М., 1961; Нейман Дж. фон, Моргенштерн О., Теория игр и экономическое поведение, перевод с английского, М., 1970; Оуэн Г., Теория игр, перевод с английского, М., 1971.
11. Матросов А. Maple 6. Решение задач высшей математики и механики. BHV - Санкт - Петербург Мастер. Руководство для профессионалов, 2003, - 528.
12. Рабкин Е.Л., Фарфоровская Ю.Б. Дискретная математика. Булевы функции и элементы теории графов: Методические указания и контрольные задания. Кафедра высшей математики СПБГУТ им. проф. М.А. Бонч-Бруевича.
13. Сдвижков О.А. Математика на компьютере: Maple 8. - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 176 с.
14. Черняк А.А., Новиков В.А., Мельников О.И., Кузнецов А.В. Математика для экономистов на базе Mathcad. - СПБ.: БХВ-Петербург, 2003. - 496.