Исследование стационарного распределения сетей массового обслуживания и доказательство инвариантности. Уравнения глобального равновесия и понятие эргодичности. Доказательство инвариантности стационарного распределения, а также определение его вида.
Аннотация к работе
Теория массового обслуживания предоставляет возможность для адекватного описания и анализа функционирования таких объектов, как телекоммуникационные сети, сети передачи данных, локальные сети, сети ЭВМ, которые получили широкое распространение и развитие в последние годы. В развитие теории сетей массового обслуживания существенный вклад внесли А.А. Поскольку большую часть времени изучаемый объект проводит в установившемся, стационарном режиме. Поэтому исследования по теории сетей, которые функционируют в стационарном режиме, важны как для теории, так и для практики. С помощью стационарного распределения могут быть найдены разнообразные показатели качества функционирования реальных систем: производительность, времена выполнения заданий, загрузка и простои приборов и т.д.Сетью массового обслуживания называется совокупность одновременно и взаимосвязано функционирующих систем массового обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие из одной системы массового обслуживания в другую. Системы массового обслуживания, из которых состоит сеть, называют узлами (полюсами, обслуживающими центрами). Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трех узлов, в которую поступает простейший поток заявок с параметром . Времена обслуживания заявок в различных узлах независимы, не зависят от процесса поступления заявок и имеют показательное распределение с параметрами для-ого узла, где - число заявок в-ой системе, . Заявка, завершающая обслуживание в-ом узле мгновенно с вероятностью переходит в-ый узел или с вероятностью покидает сеть, причем .Из состояния сеть может выйти либо за счет поступления заявки в нее (интенсивность ), либо за счет обслуживания заявки одним из узлов, например, - ым (интенсивность ). Войти же в состояние можно либо из состояния , если в сеть поступит заявка, направленная в первый узел (интенсивность ), либо из состояния , если заявка завершит обслуживание во втором узле и уйдет из сети (интенсивность ), либо, наконец, из состояний , (, ), если заявка завершит обслуживание на первом, (втором, третьем) узле и перейдет соответственно во второй, (третий, первый) (интенсивность , (, )).Составим уравнение трафика, используя следующую формулу Таким образом, уравнение трафика имеет единственное положительное решение , то есть . Рассмотрим изолированный-й узел, считая, что на него поступает простейший поток заявок интенсивности (см. рисунок 1.2.1). Уравнения равновесия для вертикальных сечений имеют вид (на рисунке 1.2.2 оно изображено пунктирной линией ). Теорема 1.2.1.( Разложения Джексона) Пусть уравнение трафика (1.2.1) имеет единственное положительное решение и выполнено условие эргодичности (1.2.5).Регулярная Марковская цепь с непрерывным временем и счетным числом состояний эргодична, если она неприводима и система уравнений имеет нетривиальное решение такое, что При этом существует единственное стационарное распределение, которое совпадает с эргодическим. Так как все состояния сообщаются с нулевым, то есть в любое состояние можно перейти из нулевого и в можно перейти из любого состояния, путем поступления, обслуживания и ухода заявок из сети, то отсюда следует неприводимость. В качестве нетривиального решения системы уравнений из теоремы 1.3.1 возьмем . Времена обслуживания заявок в-ом узле заданы функцией распределения времени обслуживания-ым прибором одной заявки , . Дисциплины обслуживания заявок в системах сети LCFS PR - заявка, поступающая в-ый узел, вытесняет заявку с прибора и начинает обслуживаться.В соответствии методом дифференциальных уравнений и рисунком 2.1, составим следующие уравнения Тогда уравнения (2.1.1) запишутся следующим образомПроверим найденное решение (2.2.1) непосредственной подстановкой в уравнения (2.1.4), получимСогласно 1.2, для марковской модели сети с тремя узлами получен вид стационарного распределения, который определяется по формуле (1.2.9). При этом времена обслуживания заявок имеют показательное распределение с параметрами для-ого узла, где - число заявок в-ой системе, .Пусть имеется открытая сеть массового обслуживания, состоящая из трех узлов, в которую поступают два независимых пуассоновских потока заявок с интенсивностями и соответственно. Моменты поступления заявки (все равно из какого потока) образуют новый поток, который называется суперпозицией или объединением первоначальных потоков. Обозначим через , , - вероятности поступления заявок за время соответственно для потока с интенсивностью , , суммарного потока. Времена обслуживания заявок в различных узлах независимы, не зависят от процесса поступления заявок и имеют показательное распределение с параметрами для-ого узла, - константа (). в) Если на приборе заявка положительная, то пришедшая отрицательная заявка выбивает заявку с прибора и положительная заявка теряется. г) Если в очереди заявок положительных, то приходящая отрицательная заявка, вытесняет последнюю (положительную) заявку и в очереди становится заявка (-ая положительная и отрицательная заявка теряется).Рассмотрим изолиров