Будем полагать, что высказывания удовлетворяют закону исключенного третьего и закону непротиворечия, т.е. каждое высказывание либо истинно, либо ложно. Так что каждая переменная у нас будет принимать два значения: значения «истина» будем обозначать «1», а значение «ложь» - «0». Так из двух высказываний p и q с помощью констант образуются высказывания Сложное высказывание, образованное с помощью знака «?» называется отрицанием, знака - «U» - конъюнкцией, знака «U» - дизъюнкцией, знака «®» - импликацией, знака «?» - эквивалентностью. Переменные и сложные высказывания, образованные из них посредствам многократного применения логических связок и скобок называются формулами исчисления высказываний, если они удовлетворяют трем условиям: Пропозициональная переменная есть формулаЛюбая формула алгебры высказываний рассматривается как сложное высказывание, принимающее значение 0,1. В алгебре высказываний решается следующая задача: определить истинностное значение формулы исчисления высказываний для любой комбинации истинностных значений входящих в нее переменных. Атомарное высказывание, т.е. переменная, может принимать два значения «1» или «0». Затем для каждой комбинации истинностных значений переменных вычисляются значение подформул данной формулы, образованных из переменных однократным применением логических связок, далее вычисляется значение подформул, образованных из предыдущих подформул однократным применением логических связок и т.д. пока в итоге не найдут истинностное значение всей формулы. Итак, каждой формуле исчисления высказываний соответствует определенная функция, аргументы которой принимают значение из множества {0,1} и сама она принимает значение из этого множества.Формулы ? и ? называются равносильными, если формула ? ? ? тождественно истина. Например, формула (p U`p) U q равносильна q, потому что формула (p U`p) U q ? q тождественно истина (проверку с помощью таблиц истинности предоставляем читателю). Равносильность формул может быть использована для упрощения формул, т.е. для замены какой-то формулы другой формулой, ей равносильной, (эквивалентной), но содержащей либо меньшее число связок, либо меньшее число переменных, либо другие переменные, либо и то, и другое, и третье вместе взятой. Из определения равносильности формул следует, что тождества (3) - (9) дают нам правила преобразования исходной формулы в новую, ей равносильную к этим правилам добавим и другие правила. Так, любую формулу можно заменить эквивалентной (равносильной) формулой, в которой не содержится знаки «>», «?» и в которой отрицание опущено лишь на элементарные высказывания.Для каждой формулы наряду с конъюнктивной нормальной формой существует дизъюнктивная нормальная форма. Преобразование формулы к дизъюнктивной нормальной форме происходит следующим образом: отрицанием первоначальную формулу и приведем ее к конъюнктивной нормальной форме, а затем вновь отрицанием полученное выражение согласно правилу а3). Например, привести к дизъюнктивной нормальной форме формулу: р U (р®q). Отрицаем эту формулу и приводим полученное выражение к конъюнктивной нормальной форме: р U (р®q) ?`PU (р ®q) ?`PU (`PU q) ?`PU (`PU `q) ?(`PU`р) U(`р U`q) ? ?(`PUP) U(`р U`q) Чтобы формула была тождественно истинной необходимо и достаточно, чтобы в ее конъюнктивной нормальной форме каждый конъюнктивный член содержал элементарное высказывание вместе со своим отрицанием.Среди этих форм имеется совершенная дизъюнктивная нормальная форма, которая удовлетворяет условиям: в ней нет двух одинаковых дизъюнкций; каждая дизъюнкция содержит в качестве дизъюнктивных членов все переменные, входящие в формулы. Первый состоит в следующем: составляется истинностная таблица формулы и находятся все наборы значений переменных высказываний, при которых формула принимает значение «истина». Например, чтобы привести формулу (р®q)Uq®RUQ к дизъюнктивной нормальной форме, составляем таблицу истинности этой формулы. Другой метод приведения формулы к совершенной дизъюнктивной нормальной форме заключается в следующем: приводим формулу к дизъюнктивной нормальной форме, а затем приписываем в каждом дизъюнктивном члене недостающие переменные согласно правилу (24).
План
План
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
2 АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
3 РАВНОСИЛЬНОСТЬ ФОРМУЛ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ. КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
4 ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ
5 СОВЕРШЕННАЯ ДИЗЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА. СОВЕРШЕННАЯ КОНЪЮНКТИВНАЯ НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА
Литература
1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Список литературы
1. Логическое суждение. Руфулаев О.Н. К. - 2005 г.
2. Логика - исскуство мышления. Тимирязев А.К.- К. 2000 г.
3. Философия и жизнь - журнал- К. 2004 г.
4. История логики и мышления - Касинов В.И. 1999.
5. Логика и человек - М. 2000.
6. Философия жизни. Матюшенко В.М. - Москва - 2003 г.