Систематизация сведений о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениях и неравенствах. Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач. Свойства функции |х|. Уравнения и неравенства, содержащие модули.
Аннотация к работе
В настоящее время в научно-методической литературе и периодических изданиях активно обсуждается «качество» математических знаний, приобретаемых учащимися общеобразовательных школ. Методисты, учителя математики, студенты педагогических институтов задают себе один и тот же вопрос: «Почему многие ученики не чувствуют взаимосвязи между изучаемыми темами, не умеют применять пройденный теоретический материал к решению задач, нередко через несколько уроков теряя приобретенные умения, так и не ставшие навыками?» (Если такой ответ вообще существует.) Однако основные принципы этой работы и ее задачи являются своеобразной альтернативой наиболее часто применяемой системе изложения математических сведений. Изучение линейных и квадратичных зависимостей, функции |х| - все чаще предлагаются абитуриентам на вступительных экзаменах самых различных ВУЗОВ. Предпринятая в данной работе попытка систематизировать и обобщить теоретический материал по этой теме (как входящий в рамки школьного курса, так и выходящий за его пределы) может стать примером системного подхода к курсу алгебры и упомянутой выше альтернативой простому нарешиванию задач.Функция, задаваемая формулой у = k·х b, называется линейной. В школьной программе доказывается, что графиком линейной функции на плоскости является прямая, и обратно, что любая прямая на плоскости есть график некоторого линейного уравнения a·x b·y c = 0. Уравнение у = k·х b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k Приведенные выше два рисунка иллюстрируют связь параметров k и b с особенностями расположения прямой в декартовой системе координат. Если k = 0, то , линейная функция постоянна и задает прямую, параллельную оси ОХ и | проходящую через точку (0,b) на оси OY.Рассмотрим простейшее уравнение с двумя параметрами а и b - линейное а х = b и сразу же выпишем ответ: а х = bСразу же выпишем решения в виде готового правила: 1) а х > b, если a > 0, то x > если a <0, то x <если a = 0 и b <0, то x - любое число, если a = 0 и b 0, то решений нет.Квадратным трехчленом называется функция Иначе можно записать в виде: Пример 1.Мы должны рассмотреть три случая: 1) , тогда В этом случае уравнение имеет два различных корня: 2) , тогда в силу (*), то есть - два совпадающих корня. 3) , Тогда не имеет вещественных корней, так как Итак, доказана теорема: Теорема 1. Пусть имеется уравнение если 1) , то уравнение не имеет вещественных решений. 2) , то уравнение имеет два равных корня 3) , то уравнение имеет два различных корняОпираясь на иллюстрации, сформулируем следующее правило решения квадратных неравенств: Неравенство ОтветЧасто встречаются задачи, в которых требуется выяснить взаимное расположение какого-либо числа и корней квадратного трехчлена на числовой оси. Так как по условию то сложив (1) и (2) получим По теореме Виета p, то есть , что и требовалось доказать. Воспользовавшись теоремой Виета: получим , что и требовалось доказать. Вновь воспользуемся теоремой Виета тогда система (1) примет вид: Переписав систему (3) в другом виде, получим систему (4): Неравенство (б) означает, что числа ) имеют одинаковые знаки, а неравенство (а), что оба эти числа положительны, то есть иначе говоря , что и требовалось доказать. Решение. а) Если а=1, то уравнение-3x 7 = 0 имеет только один корень, поэтому б) При воспользуемся пунктом II теоремы 7, который позволяет сразу записать: Ответ.Найти наибольшее из значений z, для которых существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению Так как нужно найти наибольшее значение z, то в левой части равенства будем последовательно выделять полные квадраты, сначала относительно x, затем относительно y. Так как левая часть последнего равенства неотрицательна, то правая часть должна быть неотрицательной: Итак, необходимо Покажем, что можно найти такие x, y, при которых Если , то Ответ. Теперь задача формулируется так: найти наибольшее значение а, для которого существуют числа x, y, удовлетворяющие уравнению (1). Найти все значения а, при каждом из которых существует единственная пара целых чисел x, y, удовлетворяющих уравнению и двум неравенствамВыскажем то же самое на языке теории множеств: Обозначим символом А множество решений неравенства (1), а символом В множество, заданное условием (2) (условие (2) может быть наложено в виде требования решить некоторое неравенство или уравнение). Рассмотрим следующие три случая: 1) >0, тогда после приведения левой части неравенства (1) получаем: Геометрически требуемое включение изображается следующим образом: Алгебраически точки c и d должны находится между корнями рассматриваемой параболы, что позволяет применить теорему 7. Геометрическая интерпретация в этом случае выглядит следующим образом (два случая): Рис. Алгебраически этот случай сводится к решению совокупности двух систем: 3) 0, тогда неравенство (1) после приведения принимает вид: Вновь дадим сначала геометрическую интерпретацию включения (три случая): Рис. Теперь ясно, что: Решая задачу о взаимном расположении решений квадратных неравенств
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Линейная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства
1.1 Линейная функция
1.2 Линейные уравнения и неравенства
1.3 Решение линейных неравенств
Глава 2. Квадратичная зависимость и связанные с ней уравнения и неравенства
2.1 Квадратный трехчлен
2.2 Корни квадратного трехчлена
2.3 Зависимость расположения графика функции квадратного трехчлена от а, D
2.4 Решение квадратных неравенств
2.5 Разложение квадратного трехчлена на линейные множители
2.6 Выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач
2.7 Равносильность и следствие в задачах с квадратным трехчленом
Глава 3. Функция и связанные с ней уравнения и неравенства
3.1 Определение и свойства функции
3.2 Уравнения и неравенства, содержащие модули
Заключение
Литература
Приложение
Введение
Актуальность исследования.
В настоящее время в научно-методической литературе и периодических изданиях активно обсуждается «качество» математических знаний, приобретаемых учащимися общеобразовательных школ. Методисты, учителя математики, студенты педагогических институтов задают себе один и тот же вопрос: «Почему многие ученики не чувствуют взаимосвязи между изучаемыми темами, не умеют применять пройденный теоретический материал к решению задач, нередко через несколько уроков теряя приобретенные умения, так и не ставшие навыками?»
Данная работа не дает исчерпывающего ответа на этот сакраментальный вопрос. (Если такой ответ вообще существует.) Однако основные принципы этой работы и ее задачи являются своеобразной альтернативой наиболее часто применяемой системе изложения математических сведений.
Изучение линейных и квадратичных зависимостей, функции |х| - все чаще предлагаются абитуриентам на вступительных экзаменах самых различных ВУЗОВ. Но эти темы по-прежнему вызывают затруднения у многих старшеклассников. Предпринятая в данной работе попытка систематизировать и обобщить теоретический материал по этой теме (как входящий в рамки школьного курса, так и выходящий за его пределы) может стать примером системного подхода к курсу алгебры и упомянутой выше альтернативой простому нарешиванию задач.
Кроме качества приобретенных знаний, выпускнику современной школы жизненно необходимо умение мыслить самостоятельно. Современному молодому человеку необходимо умение жить в мире, где думать - не развлечение, а обязанность. Поэтому существенная часть данной работы посвящена квадратичной зависимости и уравнениям и неравенствам, связанными с ней. Данная тема позволяет развить познавательную активность, творческую самостоятельность учащихся, интуитивное мышление, умение рассуждать и спорить. Нельзя сказать, что методисты и педагоги-ученые обходили своим вниманием этот вопрос. Однако в данной теме всегда находится что-то новое и интересное, позволяющее находить нестандартное решение.
Опираясь на все выше сказанное, сформулируем задачи исследования.
Задачи.
1. Обобщить и систематизировать сведения о линейных и квадратичных зависимостях и связанных с ними уравнениями и неравенствами.
Показать выделение полного квадрата, как метод решения некоторых нестандартных задач.
Показать эффективность применения данного метода к решению задач.
Проанализировать методико-педагогическую литературу по теме
« Линейные и квадратичные зависимости»
5. Выполнить подборку задач, для которых решение сводилось бы к линейным или квадратичным зависимостям.
Теоретическая и практическая значимость.
Теоретическая значимость исследования состоит в систематизации и обобщении данной темы. Теоретически значимым также являются проведенный анализ методико-педагогической литературы по теме «Линейные и квадратичные зависимости».
Практическая значимость работы заключается в возможности использования в решении задач доказанных формул и утверждений. При этом может быть использована выполненная подборка задач, для которых метод выделения полного квадрата является рациональным. Материалы этой работы могут быть полезны учителям школ и студентам педагогических институтов.
Структура работы.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения и приложения, включает страниц машинописного текста и имеет список литературы из наименований.