Эллипс, гипербола, парабола как кривые второго порядка, применяемые в высшей математике. Понятие кривой второго порядка - линии на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением. Теоремма Паскамля и теорема Брианшона.
Аннотация к работе
Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости - по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли. Вид кривой зависит от четырех инвариантов: инварианты относительно поворота и сдвига системы координат: инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант): Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой: Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения: Или ?2 - I? D = 0.Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная. Если эллипс описывается каноническим уравнением где a > 0 , b > 0, a > b > 0 - большая и малая полуоси эллипса, то фокусы эллипса расположены симметрично на оси абсцисс и имеют координаты (-c, 0) и (c, 0), гдеГиперболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением где a > 0, b > 0 - параметры гиперболы. Это уравнение называется каноническим уравнением гиперболы, а система координат, в которой гипербола описывается каноническим уравнением, называется канонической. Точки пересечения гиперболы с осью OX (± a, 0) называются вершинами гиперболы. С осью OY гипербола не пересекается.Параболой называется кривая второго порядка, которая в некоторой декартовой системе координат описывается уравнением y2 = 2 px где p > 0 - параметр параболы. Такое уравнение называется каноническим уравнением параболы, а система координат, в которой парабола описывается каноническим уравнением, называется канонической. Уравнения y2 =-2 px, x2 = 2 py, и x2 =-2 py, p > 0, в той же самой канонической системе координат также описывают параболы: 2. Теоремма Паскамля - теорема проективной геометрии, которая гласит, что: Если шестиугольник вписан в окружность либо любое другое коническое сечение (эллипс, параболу, гиперболу, даже пару прямых), то точки пересечения трех пар противоположных сторон лежат на одной прямой.
План
Содержание
Введение
1.Кривые второго порядка
1.1 Эллипс
1.2 Гипербола
1.3 Парабола
2.Теоремы, связанные с кривыми второго порядка
Литература
Введение
Впервые кривые второго порядка изучались одним из учеников Платона. Его работа заключалась в следующем: если взять две пересекающиеся прямые и вращать их вокруг биссектрисы угла, ими образованного, то получится конусная поверхность. Если же пересечь эту поверхность плоскостью, то в сечении получаются различные геометрические фигуры, а именно эллипс, окружность, парабола, гипербола и несколько вырожденных фигур.
Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости - по эллипсу, а по достижении второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.
1. Кривые второго порядка
Кривой 2-го порядка называется линия на плоскости, которая в некоторой декартовой системе координат определяется уравнением ax2 2bxy cy2 2dx 2ey f = 0 где a, b, c, d, e, f - вещественные коэффициенты, причем a2 b2 c2 ? 0 .
Вид кривой зависит от четырех инвариантов: инварианты относительно поворота и сдвига системы координат:
инвариант относительно поворота системы координат (полуинвариант):
Многие важные свойства кривых второго порядка могут быть изучены при помощи характеристической квадратичной формы, соответствующей уравнению кривой:
Так, например, невырожденная кривая оказывается вещественным эллипсом, мнимым эллипсом, гиперболой или параболой в зависимости от того, будет ли положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной или полуопределенной квадратичной формой, что устанавливается по корням характеристического уравнения:
Или ?2 ? I? D = 0.
Корни этого уравнения являются собственными значениями вещественной симметричной матрицы и, как следствие этого, всегда вещественны:
Кривые второго порядка классифицируются на невырожденные кривые и вырожденные.
Доказано, что кривая 2-го порядка, определяемая этим уравнением принадлежит к одному из следующих типов: эллипс, гипербола, парабола, пара прямых (пересекающихся, параллельных или совпадающих), точка, пустое множество.
Иными словами, для каждой кривой 2-го порядка (для каждого уравнения) существует такая система координат, в которой уравнение кривой имеет вид:
Список литературы
1. Корн Г., Корн Т. Кривые второго порядка (конические сечения) // Справочник по математике. - 4-е издание. - М: Наука, 1978. - С. 64-69.
2. Корн Г., Корн Т. 2.4-5. Характеристическая квадратичная форма и характеристическое уравнение // Справочник по математике. - 4-е издание. - М: Наука, 1978. - С. 64.
3. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия, гл. 6. М.: "Наука", 1988.