Критерии согласия - Курсовая работа

В данной курсовой работе рассказано о наиболее распространенных критериях согласия - омега-квадрат, хи-квадрат, Колмогорова и Колмогорова-Смирнова. Особенное внимание уделено случаю, когда необходимо проверить принадлежность распределения данных некоторому параметрическому семейству, например, нормальному. Критериями согласия называют статистические критерии, предназначенные для проверки согласия опытных данных и теоретической модели. Иначе говоря, недопустимо сначала «подогнать» по выборке некоторый закон распределения, а потом пытаться проверить согласие с полученным законом по этой же выборке. Говоря о теоретическом законе распределения, которому гипотетически должны бы следовать элементы данной выборки, надо различать простые и сложные гипотезы об этом законе: · простая гипотеза прямо указывает некий определенный закон вероятностей (распределение вероятностей), по которому возникли выборочные значения;Распределение одномерных случайных величин может быть полностью описано указанием их функций распределения. Обозначим истинную функцию распределения, которой подчиняются наблюдения, G(х), эмпирическую (выборочную) функцию распределения - Fn(х), а гипотетическую функцию распределения - F(х). Тогда гипотеза Н о том, что истинная функция распределения есть F(х), записывается в виде Н : G(·) = F(·). Для выражения сходства функций можно использовать то или иное расстояние между этими функциями. Такое различие в поведении Dn в зависимости от того, верна Н0 или нет, позволяет использовать Dn как статистику для проверки Н0.Пирсона относится к независимым испытаниям с конечным числом исходов, т.е. к испытаниям Бернулли (в несколько расширенном смысле). Она позволяет судить о том, согласуются ли наблюдения в большом числе испытаний частоты этих исходов с их предполагаемыми вероятностями. Требуется проверить гипотезу H0 о том, что данная случайная величина подчиняется закону распределения F(x). В нем вычисляется статистика хи-квадрат: (2.1) где N - число интервалов, по которому строился эмпирический закон распределения (число столбцов соответствующей гистограммы ), i - номер интервала, pti-вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для теоретического закона распределения, pei - вероятность попадания значения случайной величины в i-й интервал для эмпирического закона распределения. Если вычисленное значение статистики превосходит квантиль распределения хи-квадрат с k-p-1 степенями свободы для заданного уровня значимости, то гипотеза H0 отвергается.Более трудной, но более важной для приложений задачей является проверка гипотезы о том, что данная выборка подчиняется определенному параметрическому закону распределения, например нормальному закону. Параметры этого закона остаются неопределенными, так что эта гипотеза сложная. Поэтому эту гипотезу следует отвергнуть, если наблюденное значение (или n , если применяется модифицированный критерий омега-квадрат) неправдоподобно велико, например, превосходит критическое значение, о котором будет сказано ниже. Поскольку статистики (3.1), (3.2) при справедливости гипотезы имеют иные распределения, чем статистики Dn и , для их применения необходимы таблицы распределений или хотя бы таблицы критических значений. Более того, распределения (3.1), (3.2) могут зависеть и от истинного значения неизвестного параметра (параметров).[4] К счастью, для так называемых «масштабно-сдвиговых» семейств, к которым относятся нормальные, показательное и многие другие практически важные распределения, этого последнего осложнения не возникает.Будем предполагать, что функции р1( ), …, pr( ) заданы, дифференцируемы, для всякого , а параметр изменяется в ограниченной области пространства. Статистику (4.1) (и ее варианты) можно использовать для проверки описанной выше сложной гипотезы о параметрическом виде вероятностей в схеме Бернулли где р1(·), …, pr(·) - заданы, а параметр изменяется в заданной ограниченной области. Чтобы использовать ее в условиях другого эксперимента - например, для проверки гипотезы о типе непрерывного или дискретного распределения с бесконечным (или конечным, но большим) числом исходов - этот эксперимент надо предварительно превратить в схему Бернулли. Параметрический (зависящий от параметра ) закон распределения вероятностей во всем пространстве, соответствие которого нашей выборке мы хотим проверить, превращается при этом в параметрическое распределение вероятностей между выбранными r областями. Понятно, что результат последующего применения критерия хи-квадрат (принять гипотезу, отвергнуть гипотезу) сильно зависит от описанного перехода.Чтобы судить о том, значимо ли отличается от нуля выборочное значение (5.2), и тем самым, не нарушено ли обязательное для нормального закона соотношение (5.1), надо знать, как распределена статистика (5.2) при гипотезе. Для малых выборок исследование подобных вопросов возможно далеко не всегда и, во всяком случае, требует особого рассмотрения в каждом случае. Для случайной величины ?, распределенной по Пуассону Поэтому если

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

РАЗДЕЛ I. ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ

1.1 Критерии согласия Колмогорова и омега-квадрат в случае простой гипотезы

1.2 Критерии согласия ?2 Пирсона для простой гипотезы

1.3 Критерии согласия для сложной гипотезы

1.4 Критерии согласия ?2 Фишера для сложной гипотезы

1.5 Другие критерии согласия. Критерии согласия для распределения Пуассона

РАЗДЕЛ II. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ СОГЛАСИЯ

ВЫВОД

ПРИЛОЖЕНИЯ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ