Апріорні оцінки сильних розв’язків задачі Діріхле та мішаної задачі для лінійних еліптичних недивергентних рівнянь другого порядку загального вигляду в околі ребра області за мінімальних вимог на коефіцієнти. Теореми існування розв’язків задачі Діріхле.
Аннотация к работе
Таким чином, для доведення розвязності крайових задач для квазілінійних рівнянь другого порядку виникла необхідність створити методи, що дозволяли би одержувати необхідні апріорні оцінки для таких рівнянь. До таких областей відносяться, зокрема, області, межа яких містить скінченну кількість кутових або конічних точок, а також ребра. Однією з перших праць, що стосуються вивчення загальних крайових задач для областей з конічними чи кутовими точками, була фундаментальна робота В. О. Пламеневського вивчалося питання розвязності загальних крайових задач (при цьому допускаються мішані крайові умови) для таких рівнянь та отримання для розвязків таких рівнянь-оцінок. В дисертації досліджується поведінка розвязків та розвязність задачі Діріхле для лінійного і квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку, а також мішаної задачі для лінійного еліптичного рівняння другого порядку в області з ребром на межі.Для мішаної задачі (10)-(11) ми розглядаємо область таку, що в довільному достатньо малому околі ребра дифеоморфна двогранному куту де - кут в Аналогічно, як у випадку задачі Діріхле, точна оцінка розвязку визначається через власні значення відповідної задачі для оператора Лапласа-Бельтрамі - У випадку, коли область локально дифеоморфна двогранному куту, може бути порахованим. (через позначаємо при якщо то при цьому, якщо від функції замість (8) вимагати виконання умови то має місце оцінка для у випадку якщо то якщо ж або або і то має місце Як і в першому розділі область в довільному достатньо малому околі ребра дифеоморфна клину де - конус в Мінімальність вимог на коефіцієнти лінійних рівнянь дозволяє застосовувати розроблену в лінійному випадку техніку при отриманні відповідних точних оцінок для квазілінійних рівнянь. Нехай - розвязок задачі (12)-(13) і виконані наступні умови: рівномірної еліптичності з деякими сталими обмеження на ріст функції причому і де функції мають узагальнені похідні першого порядку по всім своїм аргументам, що задовольняють умовам де Тоді знайдуться такі додатні константи і (які не залежать від розвязку ), що мають місце наступні твердження: (тут ми позначили якщо то при цьому має місце оцінка для у випадку якщо то якщо ж або або і то має місце вкладенняУ дисертаційній роботі доведено точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку задачі Діріхле для лінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з-вимірним ребром на межі. Доведено точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку мішаної задачі для лінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з-вимірним ребром на межі. Отримано точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з-вимірним ребром на межі. Одержано апріорні оцінки для слабих розвязків задачі Діріхле для квазілінійного дивергентного рівняння в області з-вимірним ребром на межі. Доведено, грунтуючись на апріорних оцінках, теореми розвязності у вагових соболєвських просторах задачі Діріхле та мішаної задачі для лінійного рівняння і задачі Діріхле для квазілінійного рівняння у областях, що містять на межі ребро, локально дифеоморне двогранному куту.
Вывод
У дисертаційній роботі доведено точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку задачі Діріхле для лінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з -вимірним ребром на межі.
Доведено точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку мішаної задачі для лінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з -вимірним ребром на межі.
Отримано точні апріорні оцінки для розвязку і градієнта розвязку задачі Діріхле для квазілінійного недивергентного рівняння другого порядку в області з -вимірним ребром на межі.
Одержано апріорні оцінки для слабих розвязків задачі Діріхле для квазілінійного дивергентного рівняння в області з -вимірним ребром на межі.
Доведено, грунтуючись на апріорних оцінках, теореми розвязності у вагових соболєвських просторах задачі Діріхле та мішаної задачі для лінійного рівняння і задачі Діріхле для квазілінійного рівняння у областях, що містять на межі ребро, локально дифеоморне двогранному куту.
Основні результати дисертації опубліковано у працях
Борсук М. В., Плеша М. І. Оцінки розвязків задачі Діріхле для квазілінійних еліптичних рівнянь другого порядку в області з конічною точкою на межі. // Український математичний журнал 1998. Т. 50, №10, С. 1299-1309.
Плеша М. І. Поведінка розвязків задачі Діріхле для квазілінійних еліптичних рівнянь другого порядку в околі ребра. // Вісник Львівського університету (Серія механіко-математична) 1999. Т. 53, С. 67-76.
Плеша М. І. Барєри в областях з ребрами для квазілінійних еліптичних рівнянь другого порядку. // Вісник національного університету “Львівська політехніка” (Прикладна математика) 2000. №407, С. 90-93.
Плеша М. І. Непокращувальна інтегральна оцінка розвязків задачі Діріхле для квазілінйних еліптичних рівнянь другого порядку в околі ребра. // Український математичний журнал 2001. Т. 53 №6, С. 860-865.
Plesha M. Estimate of generalized solution of the Dirichlet problem for quasilinear degenerate elliptic second order equation in a domain with conical boundary point. // Nonlinear partial differential equations: Book of abstracts. - Kiev, August 26-30, 1997.
Plesha M. Estimate of the Dirichlet problem for quasilinear elliptic second order equation in a neighborhood of edges. // Nonlinear partial differential equations: Book of abstracts. Lviv, August 23-29, 1999.