Методика дослідження властивостей фундаментальних розв"язків і фундаментальних матриць розв"язків для параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем. Теорія коректної розв"язності задачі Коші для таких рівнянь і систем у просторах Гельфанда й Шилова.
Аннотация к работе
Ними було одержано ряд важливих результатів, повязаних з коректною розвязністю ЗК у різних функціональних просторах, інтегральним зображенням розвязку, створенням і вдосконаленням методів дослідження фундаментальної матриці розвязків (ФМР); знаходженням класів коректності та єдиності, теоремами про існування граничних значень розвязку з різних просторів, дослідженням якісних властивостей розвязків тощо. Шилов істотно розширює клас Петровського систем першого порядку за часовою змінною t шлях доповнення його системами, в яких показник параболічності вже може й не збігатися з порядком системи. Тому доречно попередньо провести класифікацію зазначеного розширення згідно з властивостями символів псевдодиференціювання, що призведе до появи нових класів параболічних псевдодиференціальних рівнянь (ПДР) і систем, а відтак і до потреби в створенні теорії ЗК для рівнянь і систем з цих класів. Городецького та їх послідовників, у теорії ЗК на сьогодні прослідковуються такі прогалини: 1) відсутня методика дослідження ФМР параболічних систем з порядком однорідності головного матричного символу псевдодиференціювання; 2) відкрите питання коректної розвязності ЗК для ПДР () і ПДС () у випадку, коли початкові дані можуть бути узагальненими функціями; 3) дослідження якісних властивостей розвязків таких рівнянь і систем. Метою роботи є розширення та узагальнення відомих класів параболічних за Петровським, Ейдельманом і Шиловим систем ДРЧП першого порядку за t з незалежними від просторової змінної коефіцієнтами, а також і-параболічних систем, та побудова теорії коректної розвязності ЗК для рівнянь і систем з таких розширень у просторах нескінченно диференційовних функцій, елементи яких мають характерні для їх ФМР властивості.У підрозділі 2.3 здійснено розширення просторів Гуревича шляхом доповнення їх гладкими елементами, які необовязково є цілими аналітичними функціями; досліджено їх властивості, зокрема, охарактеризовано їх елементи при дійсних значення аргументу, зясовано властивості простіших операцій, установлено звязок між цими просторами у термінах перетворення Фурє. У підрозділі 2.5 узагальнено простір Городецького та уточнено його топологію, згідно з якою цей простір є не лише досконалим зліченно-нормованим, але й таким, що в ньому вже щільним є простір фінітних нескінченно диференційовних функцій на дійсному евклідовому просторі. У четвертому розділі розвивається теорія ЗК для параболічних ДРЧП і ПДР з символами, незалежними від просторового параметра, зокрема, встановлено коректну розвязність цієї задачі в просторах нескінченно диференційовних функцій, які мають характерні властивості ФР, та досліджено властивості стабілізації й локалізації розвязку. У підрозділі 4.2 означено параболічність, яка поєднує параболічності за Ейдельманом і за Шиловим; проведено дослідження ЗК з широким класом початкових даних для рівнянь із такою параболічністю у випадку, коли їх коефіцієнти не залежать від просторової змінної; запропоновано альтернативний метод дослідження ФР ЗК; сформульовано й доведено критерій мультиплікатора в просторах типу S та встановлено коректну розвязність ЗК у цих просторах; зясовано питання локалізації розвязку ЗК; наведено приклади. У його першому й другому пунктах означено клас параболічних ПДР з опуклими вниз нескінченно диференційовними стосовно просторової змінної символами, які можуть залежати лише від часового параметра; досліджено властивості ФР ЗК у випадку, коли початкові дані можуть бути узагальненими функціями типу ультрарозподілів Жевре; описано мультиплікатори у просторах типу W.У дисертації означено нові класи параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь першого порядку за і, що містять у собі класи систем ДРЧП з незалежними від просторової змінної коефіцієнтами, параболічних за Петровським і за Ейдельманом (в які може входити оператор Бесселя), а також за Шиловим. Для рівнянь і систем з цих класів установлено коректну розвязність у просторах нескінченно диференційовних функцій ЗК, початкові дані якої належать до широких (здебільшого максимальних) класів узагальнених функцій та досліджено властивості локалізації і стабілізації розвязків. Зокрема: - розвинено методику дослідження ФР ЗК, при цьому запропоновано альтернативні методи оцінювання похідних від таких розвязків для рівнянь і систем з опуклими нескінченно диференційовними на R" символами псевдодиференціювання, які не потребують використання засобів теорії функції комплексної змінної; розвязано проблему, повязану з оцінюванням ФМР параболічних ПДС з однорідними точково-негладкими символами псевдодиференціювання; розширено сукупність узагальнених граничних значень класичних розвязків u(t,.) є С°°(R’), t є (0;П], рівномірно {р;h}-параболічних систем ДРЧП з додатним векторним родом і коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної. Крім цього, розвинено теорію просторів Гельфанда й Шилова, Гуревича, Городецького та класів Жевре, як природного середовища дослідження ЗК для рівнянь і систем рівнянь із означених класів.
План
Основний зміст роботи
Вывод
У дисертації означено нові класи параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем рівнянь першого порядку за і, що містять у собі класи систем ДРЧП з незалежними від просторової змінної коефіцієнтами, параболічних за Петровським і за Ейдельманом (в які може входити оператор Бесселя), а також за Шиловим.
Для рівнянь і систем з цих класів установлено коректну розвязність у просторах нескінченно диференційовних функцій ЗК, початкові дані якої належать до широких (здебільшого максимальних) класів узагальнених функцій та досліджено властивості локалізації і стабілізації розвязків.
Зокрема: - розвинено методику дослідження ФР ЗК, при цьому запропоновано альтернативні методи оцінювання похідних від таких розвязків для рівнянь і систем з опуклими нескінченно диференційовними на R" символами псевдодиференціювання, які не потребують використання засобів теорії функції комплексної змінної; розвязано проблему, повязану з оцінюванням ФМР параболічних ПДС з однорідними точково-негладкими символами псевдодиференціювання;
- у випадку гладких символів псевдодиференціювання розроблено схему описання максимальних класів початкових даних, з якими ЗК не лише коректно розвязна, але й така, що її розвязок має характерні для ФР чи ФМР властивості гладкості та поведінку на нескінченності;
- розширено сукупність узагальнених граничних значень класичних розвязків u(t,.) є С°°(R’), t є (0;П], рівномірно {р;h}-параболічних систем ДРЧП з додатним векторним родом і коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної.
Крім цього, розвинено теорію просторів Гельфанда й Шилова, Гуревича, Городецького та класів Жевре, як природного середовища дослідження ЗК для рівнянь і систем рівнянь із означених класів. А саме: розширено простори Гуревича шляхом доповнення їх гладкими елементами, які необовязково є цілими аналітичними функціями, та зясовано питання аналітичності й квазіаналітичності елементів цих просторів; встановлено звязок між ними в термінах перетворення Фурє;
побудовано аналоги просторів Гуревича періодичних функцій, які є узагальненням класів Жевре типу Румє цілих аналітичних періодичних функцій; охарактеризовано їх елементи та елементи відповідних топологічно спряжених просторів у термінах коефіцієнтів Фурє, описано також множини згортувачів для цих класів;
установлено критерії згортувача та мультиплікатора в просторах типу S і зазначених розширеннях просторів Гуревича;
уточнено топологію простору Городецького, породженого властивостями ФР параболічного рівняння з оператором Picea дробового диференціювання, та узагальнено цей простір на випадок, коли перетворення Фурє його елементів є негладкими функціями вже в довільно фіксованій точці простору R", які швидко спадають на нескінченності.
Також досліджено питання про можливість зображення операції Поста узагальненого диференціювання у класичній формі дробового диференціювання; узагальнено оператор Бесселя дробового інтегродиференціювання й продовжено його на простори типу S".
Вищевказані результати про коректну розвязність ЗК для параболічних псевдодиференціальних рівнянь і систем є не лише наслідком поширення відповідних результатів класичної теорії ЗК для параболічних систем ДРЧП, але й такими, що певною мірою доповнюють їх. Зокрема, цілком новим є результат про опис усіх класичних розвязків у рамках просторів типу S параболічних у розумінні Петровського, Ейдельмана, Шилова та Матійчука параболічних сингулярних систем ДРЧП (з коефіцієнтами, незалежними від просторової змінної), які мають характерні для їх ФМР властивості; також - результат про розширення сукупності узагальнених граничних значень нескінченно диференційовних за просторовою змінною звичайних розвязків параболічних за Петровським, Ейдельманом та Шиловим з додатним родом систем. рівняння матриця параболічний псевдодиференціальний
Результати проведених у дисертації досліджень мають теоретичне значення. Вони можуть використовуватися у подальшому розвитку теорії параболічних систем, математичній фізиці та теорії узагальнених функцій.
Список литературы
1. Литовченко В.А. Задача Коши для параболических по Шилову уравнений / В.А. Литовченко // Сиб. мат. журн. - 2004. - Т. 45, № 4. - С. 809-821.
2. Литовченко В.А. Задача Коши для одного класса параболических псевдодифференциальных систем с негладкими символами / В.А. Литовченко // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49, № 2. - С. 375-394.
3. Литовченко В.А. Задача Коши для {JJ; h }-параболических уравнений с постоянными коэффициентами, зависящими от времени / В.А. Литовченко // Мат. заметки. - 2005. - Т. 77, № 3. - С. 395-411.
4. Литовченко В.А. Задача Коши для параболических систем с операторами свертки в периодических пространствах / В.А. Литовченко // Мат. заметки. - 2007. - Т. 82, № 6. - С. 850 872.
5. Литовченко В.А. Задача Коши для одного класса эволюционных систем параболического типа с неограниченными коэффициентами / В.А. Литовченко / / Дифференц. уравнения. - 2008. - Т. 44, № 6. - С. 812-830.
6. Litovchenko V. Cauchy problem for equations with fractional differentiation Bessel operator in the space of temperate distributions / V. Litovchenko // Nonlinear Analysis: Modelling and Control. - Vilnius, 2003. - V. 8, № 1. - P. 61-75.
7. Літовченко В.А. Коректна розвязність однієї задачі Коші / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 8. - С. 1007-1070.
8. Літовченко В.А. Цілковита розвязність задачі Коші у просторах типу S для рівнянь, параболічних за Петровським / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, № 11. - С. 1407 1479.
9. Літовченко В.А. Коректна розвязність задачі Коші для рівняння з псевдодиференціальним оператором Бесселя / В.А. Літовченко // Доп. HAH України. - 2003. ^№2.^ С. 21 25.
10. Літовченко В.А. Коректна розвязність задачі Коші для одного рівняння інтегрального вигляду / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2004. -Т. 56, № 2. - С. 185 197.
11. Літовченко В.А. Задача Коші з оператором Рісса дробового диференціювання / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. 2005. - Т. 57, № 12. - С. 1653-1667.
12. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з цілими аналітичними символами диференціювання / В.А. Літовченко // Укр. мат. журн. - 2006. - Т. 58, № 9. - С. 1211 1233.
13. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних рівнянь з гладкими символами / В.А. Літовченко // Укр. мат. вісник. - 2006.- Т. З, № 1. - С. 19 51.
14. Літовченко В.А. Задача Коші для сингулярних пседодиференціальних систем параболічного типу / Владислав А. Літовченко // Укр. мат. вісник. -2007. - Т. 4, № 1. - С. 21 55.
15. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем у просторах періодичних функцій / В.А. Літовченко // Укр. мат. вісник. - 2007. - Т. 4, № 3. - С. 394 420.
16. Літовченко В.А. Задача Коші для одного класу псевдодиференціальних систем з гладкими символами / В.А. Літовченко // Нелінійні коливання. -2006. - Т. 9, № 4. - С. 502 524.
17. Літовченко В.А. Повна розвязність задачі Коші для одного псевдо-диференціального рівняння у просторах типу 8 В.А. Літовченко // Мат. студії. - Львів, 2002. - Т. 17, № 2. - С. 189 198.
18. Літовченко В.А. Псевдостійкість тривіального розвязку задачі Коші з оператором дробового диференціювання Бесселя / В.А. Літовченко // Вісник Київського ун-ту. Серія фіз.-мат. наук. - 1999. - Вип. 2. - С. 77 81.
19. Литовченко В.А. Корректная разрешимость задачи Коши для одного псевдоинтегродифференциального уравнения интегрального вида в пространствах типа S / В.А. Литовченко // Нелинейные граничные задачи. -Донецк, 2003. - Вып. 13. - С. 105-113.
20. Літовченко В.А. Зображення узагальненого диференціювання за Е. Постом у класичній формі дробового диференціювання / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 76. Математика.- Чернівці : Рута, 2000. - С. 54 58.
21. Літовченко В.А. Бесселеве дробове інтегродиференціювання з додатним параметром / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 134. Математика. - Чернівці : Рута, 2002. - С. 65 70.
22. Літовченко В.А. Властивість псевдостійкості тривіального розвязку узагальненої задачі Коші з псевдодиференціальними операторами / В.А. Літовченко // Наук, вісник Чернівецького ун-ту: зб. наук, праць. Вип. 46. Математика. - Чернівці : Рута, 1999. - С. 76 79.
23. Литовченко В.А. Псевдодифференциальные уравнения в пространствах обобщенных периодических функций / Влад. А. Литовченко // Крайові задачі для диференціальних рівнянь: зб. наук, праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1999. - Вип. 4. - С. 122 126.
24. Літовченко В.А. Про узагальнене Бесселеве дробове диференціювання у просторі 5" та коректну розвязність однієї узагальненої задачі Коші / Влад. А. Літовченко // Інтегральні перетворення та їх застосування: зб. наук, праць. - К. : Ін-т математики НАН України. - 1996. - С. 118 123.
25. Литовченко В.А. Полная разрешимость задачи Коши в пространствах типа 8 для ІІ-параболических уравнений / В.А. Литовченко // Электромагнитные волны и электронные системы. - Москва, 2003. - Т. 8, № 5. - С. 4^7.
26. Litovchenko V.A. Corect solvability of the Cauchy problem for {p, h }-parabolic equations / V.A. Litovchenko // Book of abstracts Internatioal Conference "Nonlinear partial Differential Equations"(Alushta) - Donetsk. - 2005. - P. 61.
27. Литовченко В.А. О граничных значениях гладких решений некоторых псевдодифференциальных уравнений / В.А. Литовченко // Еругинские чтения - VI : между нар. матем. конф., 20-21 мая 1999 г. : тезисы докл. - Гомель: ГГУ им. Ф. Скорины, 1999. - Ч. 1. - С. 154.
28. Литовченко В.А. Одна теорема об обобщенном дифференцировании по Э. Посту / В.А. Литовченко // Междунар. матем. школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В. Ефимова, 5-11 сент. 2000 г. : тезисы докл. - Ростов-на-Дону, 2000. - С. 129 130.
29. Літовченко В.А. Згортувачі у просторах типу S / В.А. Літовченко // Диференціальні рівняння і нелінійні коливання: міжнар. конф., 27-29 серпня 2001р. : тези доп. - Київ, 2001. -С. 97.
30. Літовченко В.А. Задача Коші для параболічних за Шиловим рівнянь у класах узагальнених функцій повільного зростання / В.А. Літовченко //Матеріали ІХ-ої міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, 16-19 травня 2002 p., Київ. - К. : НТУУ "КПГ, 2002. - С. 121.
31. Літовченко В.А. Узагальнені класи Жевре періодичних функцій / В.А. Літовченко // Матеріали Х-ої міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, 13-15 травня 2004 p., Київ. - К. : Задруга, 2004. - С. 441.
32. Літовченко В.А. Коректна розвязність задачі Коші для одного класу опуклих псевдодиференціальних рівнянь / В.А. Літовченко // Матеріали ХІ-ої міжнар. наук. конф. ім. академіка М. Кравчука, 18-20 травня 2006 p., Київ. - К. : Задруга, 2006. - С. 181.
33. Літовченко В.А. Задача Коші для параболічних ПДС з точково-негладкими символами / В.А. Літовченко // Матеріали XI 1-ої міжнар. наук, конф. ім. академіка М. Кравчука, 15-17 травня 2008 p., Київ. - К. : Задруга, 2008. - Ч. 1. - С. 245.
34. Літовченко В.А. Про одне узагальнення просторів типу S / В.А. Літовченко // Міжнар. матем. конф., присвяч. 125-річчю від дня народж. Г. Гана, 27 червня - 3 липня 2004 p., Чернівці : тези доп. - Чернівці, 2004. - С. 53 54.
36. Літовченко В.А. Коректна розвязність задачі Коші для параболічних псевдодиференціальних рівнянь / В.А. Літовченко // Диференціальні рівняння та їх застосування: міжнар. наук, конф., 6-9 червня 2005 р. : тези доп. - Київ, 2005. - С. 57.
37. Litovchenko V. Solvability in the whole of the Cauchy problem on the spases of type S for parabolic equations / V. Litovchenko // Матеріали міжнар. наук, конф., присвяч. 110-й річниці С. Банаха, 28-31 травня 2002 p., Львів. - Л. : ЛНУ "ЛІГ, 2002. - С. 122.
38. Літовченко В.А. Про розвязність задачі Коші з оператором Picea дробового диферентціювання / В.А. Літовченко // Міжнар. матем. конф. ім. В.Я. Скоробагатька, 27 вересня - 1 жовтня 2004 p., Дрогобич: тези доп. - Львів,2004. - С. 126.
38. Літовченко В.А. Задача Коші для сингулярних систем / Владислав Літовченко // Міжнар. матем. конф. ім. В.Я. Скоробагатька, 24-28 вересня 2007, Дрогобич: тези доп. - Львів, 2007. - С. 167.