Изучение теории и концепции систем с самоорганизованной критичностью как методологии прогнозирования кризисов, несущих экономический характер. Песочная парадигма Гленна Хелда. Модель кучи песка. Описания простейшего клеточного автомата для кучи песка.
Аннотация к работе
Большие, состоящие из взаимодействующих элементов, то есть интерактивные или сетевые системы, постоянно самоорганизуются, стремясь достичь некоторого критического состояния, в котором даже малое событие вызывает цепную реакцию, иногда приводящую к катастрофе. Согласно этой теории, многие составные системы естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие вызывает цепную реакцию, способную повлиять на любое число элементов системы. Все признаки пребывания системы на пороге состояния хаоса можно выявить в некоторой критической точке, в которой происходит изменение числа или типа равновесных состояний системы. Хелд со своими сотрудниками создал устройство, которое медленно и равномерно - по одной песчинке - насыпает песок на круглую подложку. Когда на кучу, находящуюся в критическом состоянии, падает песчинка, она может вызвать лавину любого размера, включая “катастрофическое” событие.
Введение
В большинстве случаев при возникновении событий глобального масштаба, таких как катастрофа, эксперты, как правило, находят обоснование в какой-либо редкой совокупности обстоятельств или сочетании мощных механизмов. В 1987 году, когда в «Черный понедельник» рухнул рынок акций, экономисты сетовали на дестабилизирующее влияние торговли компьютерами. Эта теория, на первый взгляд, вполне отражает истину, но такая большая и сложная система, как рынок акций может разрушиться не только под воздействием мощного удара, но и при падении булавки. Большие, состоящие из взаимодействующих элементов, то есть интерактивные или сетевые системы, постоянно самоорганизуются, стремясь достичь некоторого критического состояния, в котором даже малое событие вызывает цепную реакцию, иногда приводящую к катастрофе.
Крупные сетевые системы при изучении часто рассматриваются как небольшие упорядоченные структуры, поскольку модели, разработанные в рамках простых систем, находили в них весьма успешное применение. Раньше считалось, что можно спрогнозировать поведение большой интерактивной системы, по отдельности анализируя элементы, ее содержащие, и простейшие механизмы, действующие внутри такой системы. За отсутствием лучшей теории они предполагали, что отклик большой интерактивной системы пропорционален действующему на нее возмущению. Считалось, что динамика больших интерактивных систем может быть описана в терминах равновесного состояния, которое время от времени возмущается некоторой внешней силой.
В последние несколько десятилетий, однако, становилось все более ясно, что многие хаотические и сложные системы не поддаются традиционному анализу. В ходе написания данной работы будет рассмотрена теория систем с самоорганизованной критичностью как методология прогнозирования кризисов, несущих экономический характер. Согласно этой теории, многие составные системы естественным образом эволюционируют к критическому состоянию, в котором малое событие вызывает цепную реакцию, способную повлиять на любое число элементов системы. В качестве примера будет приведен случай банкротства Lehmann Brothers и последующего наступления мирового финансового кризиса, а также события этого года, приведшие к падению фондового рынка в России. Теория самоорганизованной критичности подразумевает, что цепные реакции любых масштабов являются неотъемлемой частью динамики. Идея в том, что малые события вызывает тот же механизм, что и крупные. Более того, сетевые системы никогда не достигают равновесия, а вместо этого эволюционируют от одного нестабильного состояния к другому.
Концепция самоорганизованной критичности
Концепция самоорганизованной критичности - это холистическая теория, подразумевающая, что такие глобальные характеристики, как относительное количество событий различного масштаба, не зависят от простейших механизмов. По этой причине глобальные характеристики системы нельзя понять, исследуя ее структуру по отдельным частям. Насколько известно, концепция самоорганизованной критичности, есть единственная в своем роде модель, или математическое описание, которое привело к целостной теории динамических систем.
Все признаки пребывания системы на пороге состояния хаоса можно выявить в некоторой критической точке, в которой происходит изменение числа или типа равновесных состояний системы. Поэтому системы, пребывающие в точке бифуркации, чувствительны даже к небольшим воздействиям со стороны, обладают целостными свойствами.
Однако рядовые критические феномены, частым примером которых служат непрерывные фазовые переходы, не являются грубыми. Они возникают только при определенном значении управляющего показателя и поэтому не могут трактоваться как универсальные механизмы сложного поведения.
В конце 80-х годов двадцатого века, когда П.Баком, Ч.Тангом и К.Вайзенфельдом было введено представление о системах с самоорганизованной критичностью, ситуация несколько изменилась. Выяснилось, что критическое состояние может не только создаваться искусственным путем воздействия на целостность системы, но и возникать самопроизвольно в результате действия механизма, который оказался прост и универсален.
Поскольку составные системы содержат много компонентов, а их поведение определяется большим числом взаимодействий, исследователи, вероятно, не в состоянии построить математические модели, которые были бы одновременно и совершенно реалистичными, и поддающимися теоретическому анализу. Поэтому они вынуждены прибегать к простым идеализированным моделям, отражающим существенные черты реальных систем. Если эти простые модели устойчиво ведут себя по отношению к различным модификациям, то результаты расчетов по ним можно экстраполировать на реальные ситуации.
Песочная парадигма
Парадигмой для самоорганизованной критичности служит простая на первый взгляд система: куча песка. Некоторые исследователи моделировали динамику песочных куч с помощью компьютерных программ; другие, такие, как Гленн Хелд с сотрудниками в Исследовательском центре им. Томаса Уотсона корпорации IBM, проводили эксперименты. Как модели, так и эксперименты дали сходные результаты.
Хелд со своими сотрудниками создал устройство, которое медленно и равномерно - по одной песчинке - насыпает песок на круглую подложку. Сначала песчинки остаются близко к тому месту, куда они упали. Вскоре они начинают громоздиться друг на друга, образуя кучу с пологим склоном. Время от времени, когда в каком-то месте склон становится слишком крутым, песчинки соскальзывают вниз, вызывая небольшую лавину. По мере добавления песка и увеличения крутизны склона средний размер лавин увеличивается. Некоторые песчинки начинают сваливаться с края круга. Куча перестает расти, когда количество добавляемого песка в среднем компенсируется количеством песка, сваливающегося с края. В этот момент система достигает своего критического состояния.
Когда на кучу, находящуюся в критическом состоянии, падает песчинка, она может вызвать лавину любого размера, включая “катастрофическое” событие. Однако большую часть времени песчинки падают так, что лавин не возникает. Мы обнаружили, что даже самые большие лавины захватывают лишь небольшую долю песчинок в куче, поэтому даже катастрофические лавины не могут привести к значительному отклонению крутизны склона от критического значения.
Лавина является разновидностью цепной реакции, или ветвящегося процесса. Несколько упростив динамику лавины, можно определить главные характеристики цепной реакции и построить модель.
В начале схода лавины одна песчинка соскальзывает вниз по склону в результате некоторой неустойчивости на поверхности кучи. Эта песчинка остановится только тогда, когда окажется в устойчивом положении; в противном случае она продолжит движение. Если она столкнется с песчинками, которые почти неустойчивы, она заставит их также катиться вниз. В ходе этого процесса каждая движущаяся песчинка может остановиться или продолжать падать, а также может вызвать падение других песчинок. Процесс прекратится, когда все “активные” песчинки остановятся или скатятся с кучи. Для измерения размеров лавины можно просто сосчитать общее число скатившихся песчинок.
Куча сохраняет постоянную высоту и крутизну потому, что вероятность прекращения активности в среднем равна вероятности ветвления активности. Таким образом, цепная реакция поддерживает критическое состояние.
Если форма кучи такова, что крутизна ее склона меньше критической (субкритическое состояние), то лавины будут меньше, чем при критическом состоянии кучи. “Субкритичеекая” куча будет расти, пока не достигнет критического состояния. Если крутизна склона больше критической (суперкритическое состояние), то лавины будут значительно больше тех, что генерируются критическим состоянием. “Суперкритическая” куча будет уменьшаться, пока не перейдет в критическое состояние. Как субкритическая, так и суперкритическая кучи естественным образом тяготеют к критическому состоянию. Что изменится, если вместо сухого песка взять мокрый или попытаться предотвратить лавины с помощью заграждений? Сначала влажная куча дает более редкие лавины меньшего размера, чем такая же сухая куча. Спустя некоторое время крутизна склона у влажной кучи вырастает до большего значения, чем у сухой. В этом состоянии влажная куча порождает лавины всех размеров: она эволюционировала к критическому состоянию. Аналогичную динамику можно наблюдать для кучи с “противолавинными” заграждениями. В целом критическое состояние устойчиво относительно любых малых изменений в характеристиках системы.
Песочная куча обладает двумя, на первый взгляд исключающими друг друга, свойствами: эта система неустойчива во многих различных местах и вместе с тем ее критическое состояние абсолютно устойчиво. С одной стороны, конкретные свойства, такие, как локальный рельеф кучи, постоянно меняются изза лавин. С другой - статистические свойства системы, такие, как распределение размеров лавин, остаются неизменными.
Наблюдатель, изучающий какую-то область кучи, может легко выявить механизмы, вызывающие падение песка, и даже предсказать, возникнут ли лавины в ближайшем будущем. Для локального наблюдателя большие лавины останутся, однако, непредсказуемыми, потому что они являются следствием эволюции кучи в целом. Независимо от локальной динамики лавины будут неумолимо возникать с относительной частотой, которую нельзя изменить. Критичность является глобальным свойством песочной кучи. Несмотря на то что песок добавляется к куче с постоянной скоростью, количество песка, ссыпающегося с кучи, значительно меняется со временем. Если нарисовать график этой величины в зависимости от времени, то мы увидим хаотический сигнал со следами всех длительностей. Такие сигналы известны как “шум мерцания”, или “фликкер-шум”, или шум 1/f. Как известно, шум мерцания указывает на то, что на динамику системы влияют прошлые события. И наоборот: “белый”, или случайный, шум означает отсутствие корреляции между текущей динамикой и прошлыми событиями.
Модель кучи песка
Базовой моделью теории самоорганизованной критичности является куча песка.
Рассмотрим уголок с песком, изображенный на рисунок 1. Будем предполагать сцепление между песчинками достаточно большим. При этом возможно лишь поверхностное перемещение песка, причем инерцией его движения можно пренебречь. Тогда состояние системы вполне определяется наклоном поверхности [ix] . В тех местах, где локальный наклон оказывается больше порога устойчивости, происходит осыпание, приводящее к соскальзыванию песчинок вниз по склону на соседние участки поверхности.
Рисунок 1. Уголок с песком
Состояние песка определяется углом наклона поверхности z. При его изменении происходит непрерывный фазовый переход (зависимость параметра порядка от управляющего параметра приведена на врезке) от неподвижного состояния (J = 0) к состоянию непрерывного тока песка (J > 0). При токе J = 0, соответствующем добавлению одной песчинки за один шаг, система самоорганизуется в состояние с критическим наклоном z = zc. Если средний наклон поверхности z невелик, то песок неподвижен. Если же наклон превышает некоторое значение zc, возникает спонтанный ток песка J по поверхности, который непрерывно возрастает при увеличении z (см. врезку на рис. 2). То есть, налицо непрерывный фазовый переход, в котором управляющим параметром является наклон z, а параметром порядка - ток песка J.
Критическое значение наклона zc разделяет хаотическую (z zc) фазы [x] . Обе эти фазы соответствуют некатастрофическому поведению, поскольку в них система устойчива к малым возмущениям. В хаотической фазе они еще быстро затухают во времени и пространстве, а в упорядоченной - уже не могут ощутимо повлиять на величину тока. И лишь в критической точке, где одна добавленная песчинка может вызывать лавину любого размера, возможны катастрофы.
Критическое состояние возникает, когда параметр порядка едва становится ненулевым, т.е. соответствуют моменту его отрыва от нуля. В случае обычных критических явлений такое состояние достигается путем тонкой подстройки. Однако, вместо того чтобы подбирать для управляющего параметра a priori неизвестное критическое значение, можно установить параметр порядка в 0, что заставит управляющий параметр самостоятельно отыскать критическую точку.
Иначе говоря, вместо того, чтобы крутить ручку прибора, можно начать сдвигать с нулевой отметки стрелку на его шкале, вынуждая ручку повернуться до нужного положения [22]. Такое управление параметром порядка обыкновенно достигается при помощи разделения временных масштабов [23], при котором время релаксации системы много меньше времени между последовательными возмущениями, т.е. когда события едва происходят. Самоорганизации кучи песка в критическое состояние происходит при токе J = 0. Чтобы обеспечить такую величину параметра порядка, будем рассматривать динамику по шагам, добавляя песчинки по одной на вершину кучи (см. рис. 2) и дожидаясь завершения процесса релаксации. При этом ток песка через систему, очевидно, имеет минимально возможное значение - в среднем одна песчинка за один шаг рассмотрения.
Если наклон поверхности мал, то лавина, вызванная добавленной песчинкой, скорее всего, не достигнет края кучи и наклон увеличится. При очень большом наклоне состояние кучи является метастабильным, т.е. на любое возмущение она ответит глобальным событием, в результате которого большое количества песка покинет систему и наклон уменьшится. Равновесие между количеством песка, добавляемого в систему, и количеством песка, покидающего ее, достигается при критическом наклоне поверхности, когда возмущение может распространяться по куче сколь угодно далеко, не затухая и не разрастаясь.
Таким образом, имеет место отрицательная обратная связь, вынуждающая наклон принять со временем значениеz = zc вне зависимости от начального профиля поверхности. При этом куча песка, состоящая из локально взаимодействующих песчинок, начинает вести себя как единое целое. То есть, в результате самоорганизации в критическое состояние система приобретает свойства, которых не было у ее элементов, демонстрируя сложное целостное поведение. При этом немаловажно, что самоорганизационная природа целостных свойств обеспечивает их грубость.
Поведение рассмотренной системы может быть пописано на языке клеточных автоматов. Простейшей моделью кучи песка служит автомат, предложенный Д.Дхаром и Р.Рамасвами [24].
Сопоставим куче двумерную гексагональную решетку размером L?L, горизонтальные слои которой условно соответствуют линиям уровня поверхности. В ячейках решетки расположены целые числа, характеризующие локальный наклон поверхности кучи (см. рис. 3). Если число превышает единицу, ячейка объявляется неустойчивой и осыпается, что выражается в уменьшении на 2 стоящего в ней числа с одновременным увеличением на 1 значений в двух ячейках, примыкающих к данной снизу (рис. 3).
Устойчивыми считаются ячейки с нулевым или единичным наклоном.
Рисунок 2. Простейший клеточный автомат для кучи песка
При потере ячейкой устойчивости из нее изымаются две песчинки и передаются в пару нижележащих ячеек. Лавина инициируется добавлением одной песчинки в случайно выбранную ячейку верхнего слоя.
Слева приведено состояние системы до лавины осыпаний, справа - после. Заливкой показаны область лавины и ячейки на ее границе, которые, получив песчинку, сохранили устойчивость.
Шаг моделирования состоит из возмущения и релаксации. Возмущение устойчивого состояния производится путем увеличения на единицу значения в случайно выбранной ячейке верхнего слоя, что соответствует добавлению одной песчинки на вершину кучи. Если в результате возмущения ячейка теряет устойчивость, то она осыпается и начинается процесс релаксации. Осыпание ячейки приводит к увеличению наклона в нижележащих ячейках, что, в свою очередь, способно нарушить их устойчивость и т.д. по принципу цепной реакции. Таким образом, потеря устойчивости одной ячейкой может вызвать лавину осыпаний (рис. 3), продолжающуюся до тех пор, пока все ячейки вновь не обретут устойчивость.
После этого релаксационный процесс считается завершенным и начинается следующий шаг моделирования.
Нижний край решетки является открытым, так что при осыпании ячейки из нижнего слоя две песчинки покидают систему. Это обеспечивает существование стационарного состояния и возможность самоорганизации. Левый и правый края решетки ради простоты отождествлены, т.е. она свернута в вертикальный цилиндр (периодические граничные условия).
Лавины в данной модели распространяются строго сверху вниз, не затрагивая два раза один слой. Поэтому их вполне можно охарактеризовать всего двумя числами: площадью области S, где произошли осыпания, и длительностью T (числом затронутых лавиной слоев). Как показывает компьютерное моделирование, распределение лавин по площади и длительности имеет степенной вид с показателями, соответственно, ?S ? 0,33 (см. рис. 4) и ?T ? 0,50 [24].
Рисунок 3. Распределение лавин по площади при различных размерах решетки
Линейная часть графика, представляющая в двойных логарифмических координатах степенную зависимость, имеет угол наклона приблизительно -1,33. Горб в правой части графиков соответствует тем лавинам, которые оборвались изза достижения нижнего края решетки.
На врезке приведен конечно размерный скейлинг распределений. Графики, полученные при различных L, совпадают при ? ? 1,50 и ? ? 2,00.
Как видно из графиков, приведенных на рис. 4, степенной вид плотности вероятности нарушается при больших значениях аргумента. То есть, вместо формулы (1) следует использовать распределение
, где функция h(y) приблизительно постоянна при y << 1 и быстро убывает при больших y. Параметр x1характеризует величину событий, крупных настолько, что они уже не описываются степенной статистикой. Ее нарушение при x ~ x1 обусловлено конечностью размеров системы, изза чего она и не может порождать сколь угодно крупные события.
Для учета влияния размеров системы на форму распределение обычно применяется метод конечно размерного скейлинга [25]. Он основан на предположении, что плотность вероятности дается формулой
, где ? и ? - скейлинговые показатели, L - размер системы, конечность которого и ограничивает область промежуточной асимптотики, а g(y) - скейлинговая функция, общая для систем различного размера.
Вид формулы (4) обусловлен отсутствием у величины x собственных характерных значений. Поэтому ее характерные значения, определяемые размером системы, зависят от него масштабно инвариантным образом. Например, характерный размер крупного события есть , а среднее событие составляет, как легко видеть, .
Для эквивалентности формул (3) и (4) необходимо, чтобы в промежуточной асимптотике функция g имела степенной вид
.
С учетом этого формула (4) сводится к самоорганизованный критичность экономический песочный
.
А поскольку в промежуточной асимптотике плотность вероятности не зависит от размера системы, показатели оказываются связанными следующим скейлинговым соотношением
.
Если при построении графиков плотности вероятности, откладывать по оси абсцисс x·L-?, а по оси ординат -u(x)·L?, то графики, соответствующие системам различного размера, совпадут. Таким способом можно с хорошей точностью определить скейлинговые показатели, а через них по формуле выразить и показатель a, для которого в случае распределения лавин по площади получается значение 0,33.
Использование конечноразмерного скейлинга помогает найти значения показателей модели и теоретически [xi] .
На каждом шаге в систему добавляется одна песчинка, поэтому в стационарном режиме в среднем одна песчинка будет ее и покидать. Чтобы пройти все L слоев решетки, каждой песчинке необходимо участвовать в L осыпаниях. Поэтому средняя площадь области лавины S, равная среднему количеству осыпаний, будет пропорциональна L .
Откуда, в соответствии с формулами, приходим к следующему соотношению между показателями .
Характерная длительность крупных лавин T1 определяется, очевидно, числом имеющихся в решетке слоев , что дает .
Чтобы объединить соотношения и осталось установить связь между площадью и длительностью лавин. Для этого надо вспомнить, что мы имеем дело с самоорганизованно критической системой.
На каждом слое t, который проходит лавина, она имеет некоторую ширину w(t), определяемую как число осыпавшихся ячеек слоя. Среднее изменение ширины лавины от слоя к слою равно нулю. В самом деле, будь оно отрицательно, вероятность достижения лавиной слоя t экспоненциально бы убывала с его номером, а будь оно положительно, лавина бы с ненулевой вероятностью неограниченно распространялась. Поскольку в первом случае количество песка в системе возрастает, а во втором - убывает, возникает отрицательная обратная связь, подстраивающая систему в критическое состояние. В нем при прохождении лавины по слоям ее ширина изменяется лишь диффузионным образом (как координата частицы, совершающей несмещенные случайные блуждания).
Таким образом, типичная ширина лавины, достигшей слоя t, .
Интегрируя эту формулу, находим типичную площадь лавины, достигшей слоя T, .
Подстановка в полученную зависимость выражения дает
, т.е. ?S = 3/2, откуда с учетом соотношения определяется показатель распределения ?S = 1/3.
С другой стороны, формула в сочетании с уравнением сохранения вероятности приводит нас к соотношению между показателями распределений и значению ?T = 1/2 в полном согласии с результатами моделирования.
Следствием степенных распределений, описывающих систему, естественно, является ее склонность к катастрофам. В этом смысле очень наглядной является экономическая интерпретация модели [21].
Каждая ячейка рассматривается как экономический агент - производитель определенного вида продукции, для создания двух единиц которой он использует по единице продукции каждого из двух нижележащих агентов. Число в ячейке определяет количество единиц продукции, запрошенной смежниками сверху. Как только накапливается более одного запроса, агент, в свою очередь, посылает по запросу смежникам снизу, чтобы произвести свою продукцию и удовлетворить запросы верхних смежников [xii] .
Слои решетки при этом можно трактовать как различные уровни экономики: (внизу - сырьевые и добывающие отрасли, в середине - перерабатывающие, наверху - производители готовой продукции), а добавление единичек в верхний слой - как запрос на единицу товара от конечного потребителя.
Отклик такой модели экономики на элементарное воздействие не имеет собственного характерного размера, и поэтому в ней возможны гигантские события без отчетливых причин, которые можно интерпретировать как кризисы или бумы. И хотя ничто не мешает экономистам a posteriori указать на ту конкретную песчинку, которая сорвала лавину (что обычно и делается при анализе кризисных явлений), причина лавины вовсе не в песчинке, а целостном критическом поведении системы, склонной к катастрофическому поведению.