Основные методы оценки геометрии шероховатых поверхностей. Установление связи фрактальной размерности с параметрами неровности профиля. Изучение упругопластической деформации при контакте полусферы с жесткой плоскостью с помощью метода конечных элементов.
Аннотация к работе
При решении трибологических задач представляется важным определить параметры контактного взаимодействия с учетом наличия шероховатости. Решение подобных задач требует разработки моделей реальных поверхностей и их контактного взаимодействия. В ряде случаев при разработке моделей поверхностей полагают постоянство радиусов закругления верхней части выступов, при этом законы распределения вершин выступов могут быть разными. Особенности фрактального подхода [7 - 9 и др.] позволяют исключить некоторые недостаточно обоснованные допущения, в частности: постоянство радиуса закругления верхней части неровностей и его независимость от величины сближения; введение в модель контактного взаимодействия таких факторов, не зависящих от масштаба (скейлинга), как фрактальная размерность и фрактальный параметр поверхности. Модель фрактальной поверхности может быть представлена следующим выражением [13]: Здесь cz - сомножитель; q>1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; Ds - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное волновое число; ?nm - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-?, ?].
Введение
При решении трибологических задач представляется важным определить параметры контактного взаимодействия с учетом наличия шероховатости. Решение подобных задач требует разработки моделей реальных поверхностей и их контактного взаимодействия. При этом принимаются допущения, которые снижают ценность моделей. Критерием адекватности модели реальной поверхности служит либо одинаковость распределения материала в шероховатом слое [1], либо плотность вершин выступов [2]. В ряде случаев при разработке моделей поверхностей полагают постоянство радиусов закругления верхней части выступов, при этом законы распределения вершин выступов могут быть разными. Обзор моделей контактного взаимодействия шероховатых поверхностей представлен в работе [3].
Модель Гринвуда-Вильямсона [2] ограничивалась рассмотрением упругого контакта шероховатых поверхностей. Дальнейшие работы учитывали наличие контактов с пластическим состоянием [4], анизотропию поверхности [5] и другие особенности контактного взаимодействия [6].
Особенности фрактального подхода [7 - 9 и др.] позволяют исключить некоторые недостаточно обоснованные допущения, в частности: постоянство радиуса закругления верхней части неровностей и его независимость от величины сближения; введение в модель контактного взаимодействия таких факторов, не зависящих от масштаба (скейлинга), как фрактальная размерность и фрактальный параметр поверхности. При этом возможно использовать ЭВМ для автоматизации и ускорения расчетов, что немаловажно при решении контактных задач в 3D на больших участках поверхности с высокой детализацией.
Связь фрактального и статистического методов
Моделирование инженерной поверхности возможно при установлении связи фрактальной размерности с параметрами шероховатости инженерных поверхностей. В ряде случаев требуется использовать данные об инженерных поверхностях и их параметрах, которые не содержат оценку фрактальной размерности.
К параметрам фрактальной поверхности, не зависящим от шкалы измерения, относят ее размерность и фрактальный параметр. Фрактальные размерности поверхности и ее профиля (по мнению Б. Мандельброта) связаны следующим соотношением: DS=D 1.
Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта для профиля поверхности определяется выражением
Параметр G можно определить из уравнения
Для профиля поверхности фрактальная размерность определяется угловым коэффициентом K (наклоном прямой, построенной в координатах LGS-lg?).
Тогда фрактальная размерность для изотропной поверхности, параметры шероховатости которой можно определить по одной профилограмме, равна
Учитывая, что G=f(Rq), после несложных преобразований получим
Проинтегрировав, получим откуда фрактальный параметр G будет равен
Параметр G (по данным Д. Павелеску и А. Тудора [10]) изменяется в пределах от 9,9·10-16 до 1,2·10-2 мкм, что подтверждает представленная зависимость, выведенная нами.
В работе [10] отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов. В таблице приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.
Таблица
Сравнительная оценка параметров шероховатости
Фрактальный метод Статистический метод
Спектральная мощность профиля мкм3 мкм3, D0 - число нулей (пересечений профиля средней линией), отнесенное к единице длины, мкм-1
Радиус закругления вершин выступов мкм, a - площадь пятна контакта, мкм2 мкм, De - число экстремальных точек, отнесенное к единице длины, мкм-1; ? ? среднее квадратическое отклонение профиля
Нахождение фрактальной размерности D возможно и на основе установления связи с такими параметрами шероховатости, как среднее арифметическое отклонение профиля Ra и среднее квадратическое отклонение профиля Rq. Подобные зависимости получены на основе обработки экспериментальных данных некоторых инженерных поверхностей [9; 11; 12]. Сравнение этих зависимостей показывает их удовлетворительное соответствие в диапазоне Ra ?[0,2…1,3].
Моделирование фрактальных поверхностей
Модель фрактальной поверхности может быть представлена следующим выражением [13]:
Здесь cz - сомножитель; q>1 - параметр пространственно-частотного масштабирования; Ds - фрактальная размерность (2<D<3); N,M - число гармоник; K - основное пространственное волновое число; ?nm - случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-?, ?].
Сомножитель cz можно определить из соотношения
На рис. 1 представлена модель поверхности, построенная при следующих данных: q =2,7; K=1; N=M=3; ?n,m~Rav[0,?]; DS=2,17.
Рис. 1. Модель поверхности
К алгоритмам моделирования фрактальных поверхностей можно отнести метод последовательного случайного сложения, предложенный Р.Ф. Фоссом, а также метод серединного смещения, применяя которые можно получить достаточно детализированную картину поверхности в объеме (3D). Все эти алгоритмы были нами опробованы и протестированы. Составленная на языке программирования С программа дает возможность не только увидеть в 3D смоделированную поверхность с ее параметрами шероховатости, но и провести компьютерный эксперимент по контактированию двух шероховатых поверхностей (рис. 2).
Рис. 2. Контактирование двух моделей поверхностей
Адекватность модели реальной поверхности
Моделирование фрактальных поверхностей и построение базы поверхностей позволяет за сравнительно короткое время с помощью компьютерных технологий провести оценку параметров, необходимых для практических задач. Важной является проверка адекватности модели реальной поверхности. Нами предложены критерии сравнения модели поверхности с оригиналом.
а) б)
Рис. 3. Моделирование инженерной поверхности: а - реальная поверхность; б - модель
На рис. 3 представлены реальная поверхность и ее модель. Сравнение спектральной плотности реальной поверхности и модели (рис. 4) является одним из обоснований их адекватности.
Рис. 4. Спектральная плотность: а - реальная поверхность; б - модель
Так как важную роль играют такие параметры, как среднее квадратическое отклонение высот неровностей поверхности и фрактальный фактор G, то в дополнение к фрактальной размерности DS предлагается следующий критерий адекватности:
где Ra - среднее арифметическое отклонение ординат; Rq - среднее квадратическое отклонение.
Критерий можно представить в виде следующего выражения:
Здесь G - фрактальный фактор; ? - величина, равная 1,5 (по А. Маджумдару); ? - частота.
Для представленных на рис. 3 поверхностей критерий ? принял следующие значения: ? =0,085816 - для реальной поверхности; ? = 0,08248 - для модели. Критерий ? показывает хорошую сходимость полученных результатов, свидетельствуя о том, что эти две поверхности идентичны.
Контактная механика фрактальных поверхностей
Для единичного пятна связь между нагрузкой и площадью соответственно при упругом и пластическом состояниях имеет вид где
Учитывая, что запишем:
где
Для множественного контакта найдем нагрузку, воспринимаемую упруго деформированными пятнами:
Здесь - переменная интегрирования. Число пятен контакта определяется выражением
Подставив число пятен в формулу для , после несложных преобразований получим
Проинтегрировав это выражение, окончательно запишем:
Нагрузка, приходящаяся на пятна, находящиеся в пластическом состоянии, оценивается соотношением
Кроме пятен, находящихся в упругом и пластическом состояниях, имеются пятна в упругопластическом состоянии (e-р-контакт). Изучение упругопластической деформации при контакте полусферы с жесткой плоскостью с помощью метода конечных элементов [14] позволило записать соотношения между нагрузкой и относительной деформацией в следующем виде: · для случая
· для случая
.
Из условия равновесия найдем
Площади упруго, упругопластически и пластически деформируемых пятен соответственно равны
Если какая-либо часть фактической площади контакта окажется отрицательной, то ее не следует учитывать при оценке всей площади контакта.
Интерес представляет сравнение оценок фактической площади контакта, полученных по формулам и
Номинальная площадь равна
Номинальное давление при задаваемой величине номинальной площади равно
Сближение можно найти из соотношения где
При контактном взаимодействии анизотропных поверхностей пятна контакта существенно отличаются по форме от круга. В этом случае, используя компьютерное моделирование, найдем в графической форме зависимости контурной площади сопряжения от сближения при любой форме пятен касания.
Тогда несущая способность контакта при заданной нагрузке определяется одной и той же контурной площадью, которая соответствует разным сближениям и другим параметрам контактного взаимодействия. Процедура определения сближения для разных сочетаний поверхностей понятна из рис. 5.
Рис. 5. Зависимость контурной площади от относительного сближения ?*=?/Rp
Таким образом, выполнена сравнительная оценка параметров инженерной поверхности, полученных с помощью фрактальных представлений и методом статистического анализа.
Используя фрактальные представления о геометрии шероховатой поверхности, можно создать трехмерную компьютерную модель контакта и провести компьютерный эксперимент по деформированию сопряженных поверхностей с расчетом основных параметров контактирования.
Установленные зависимости позволяют определить такие параметры контактного взаимодействия, как фактическая площадь контакта, контактная жесткость и др.
С помощью представлений о шероховатом слое как о фрактальном объекте рассмотрен вопрос замены контакта шероховатых поверхностей на контактное взаимодействие гладкой поверхности с поверхностью, имеющей эквивалентные параметры шероховатости. шероховатый фрактальный упругопластический деформация
Список литературы
1. Демкин, Н.Б. Развитие теории фрикционного контакта/Н.Б. Демкин//Трение и износ.?1992. - Т. 13.?№1.? С.71-80.
2. Greenwood, J.A. Contact of nominally flat surfaces/J.A. Greenwood, J.B.P. Williamson//Proc. Royal Soc. London.Ser. A. - 1966.?V. 293.?P. 300-319.
3. Bhushan, B. Contact mechanics of rough surfaces in tribology: Multiple asperity contact/B. Bhushan//Tribology Letters.?1998.?V.4.?P. 1-35.
4. Chang, W, An elastic-plastic model for the contact of rough surfaces/ W. Chang, I. Etsion, D. Bogy// Journal of Tribology.?1987.?V. 109.?P. 257-263.
5. Bush, A. Strongly anisotropic rough surfaces/ A. Bush, R. Gibson, G. Klogh//Journal of Lubrication Technology. - 1979.?V. 101.? P. 15-20.
7. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей /А. Маджумдар, Б. Бхушан//Современное машиностроение. Сер. Б.?1991.?№6.? С.11-23.
8. Ganti, S. Generalized fractal analysis and its application to engineering surfaces/ S. Ganti, B. Bhushan//Wear.?1995.?V. 180.?P. 17-34.
10. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D.Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A. - 2004. -Vol. 5. -№2.
11. Barman, T.K. Fractal relation with conventional roughness parameters for surface topography generated in grinding/T.K. Barman, P. Sahoo// Proc. of the Intern. Conf. of Mech. Engineering. - Dhaka, Bangladesh, 2005. -P.1-5.
12. Лабутин, И.С. Связь шероховатости и фрактальной размерности для односвязных поверхностей//И.С. Лабутин, В.В. Брюханов//Изв. КТГУ. - 2006.-№ 10.
13. Потапов, А.А. Теория рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью / А.А. Потапов, А.В. Лактюнькин// Нелинейный мир. - 2001.-Т. 6. - № 6. - С. 3-36.
14. Jackson, R.L. A Finite element study of elastic-plastic hemispherical contact against a rigid flat / R. L. Jackson, I. Green//Journal of Tribology. - 2005. - V. 127. - P.343-354.