Порівняльний аналіз геометричної і кінематичної природи руху супровідного тригранника просторових кривих і ліній поверхні. Сутність кінематичного підходу моделювання руху тригранника Френе. Метод конструювання лінійчатих косих і розгортних поверхонь.
Аннотация к работе
Конструйовані криві лінії та поверхні в кращому випадку можуть бути задані рівняннями, а коли це неможливо, то масивами точок чи каркасами ліній, які представляють ці поверхні і обводи. Для дискретно представлених кривих та поверхонь знаходять аналітичні залежності, які дали б можливість загущувати точки і лінії каркасу із необхідною щільністю. Звичайно, існують методи диференціальної геометрії для знаходження геометричних характеристик ліній і поверхонь, але, по - перше, вони громіздкі, іноді повязані із застосуванням чисельних методів обчислень, а по - друге, знайдені таким чином характеристики можуть не задовольняти поставлених вимог. Щоб змусити частинку рухатись по певній траєкторії на поверхні, необхідно прикласти до неї відповідні сили, величина і напрям дії яких залежить від кривини траєкторії і кута між головною нормаллю траєкторії і нормаллю до поверхні вздовж дуги траєкторії. В силу історичного розвитку так склалося, що виявлення або врахування внутрішніх властивостей ліній і поверхонь є вторинною задачею у прийнятих в прикладній геометрії методах.В роботі встановлено, що вектор миттєвої осі обертання і ковзання знаходиться в площині, паралельній спрямній площині тригранника, нахилений до стичної площини під кутом b і перетинає орт головної нормалі кривої на відстані ООО від вершини тригранника (рис.1). Якщо припустити, що на досить малому відрізку кривої Ds кривина і скрут постійні, то тоді напрям (кут b) і модуль вектора кутової швидкості не будуть змінюватися під час рівномірного руху тригранника по кривій в межах дуги Ds. Для моделювання руху тригранника крива розбивається на окремі ланки як завгодно малої величини Ds, кривина і скрут на яких вважаються постійними. Твірна лінія постійної форми (пряма, крива) або ж коло змінного радіуса закріплюється певним чином у системі тригранника Френе і під його руху по напрямній утворюється поверхня. В такому випадку зявляється можливість будувати супровідний тригранник Дарбу для лінії на поверхні (наприклад, напрямної), у якого два орти знаходяться в площині, дотичній до поверхні, а третій - направлений по нормалі до неї.Розроблена концепція неперервного згинання поверхонь у науковому плані дає напрям подальшим дослідженям, а в практичному - є основою вдосконалення технології виготовлення тонкостінних форм згинанням. Аналіз літературних джерел з теорії просторових кривих ліній, а також відповідних розділів із диференціальної геометрії показав, що існує проблема переходу від заданих натуральних рівнянь кривих до їх координатного запису а також відповідних розділів із диференціальної геометрії показав, що існує проблема переходу від заданих натуральних рівнянь кривих до їх координатного запису а також візуального відтворення. У звязку з цим була взята за основу кінематична природа руху супровідного тригранника Френе плоских і просторових ліній згідно якої в кожен момент часу тригранник здійснює гвинтовий рух у випадку просторової кривої й обертальний - для плоскої. Для кривої на поверхні розглянута кінематика супровідних тригранників Френе і Дарбу і встановлено взаємозвязок між кінематичними характеристиками руху тригранників через параметри поверхні і кривої на ній. На основі вивчення кінематики тригранників Френе і Дарбу кривої на поверхні розроблено метод конструювання поверхонь за заданою напрямною кривою, яка є спеціальною лінією поверхні.Пилипака С.Ф. Побудова просторової кривої лінії за заданими натуральними рівняннями // Прикл. геометрия и инж. графика. Згинання гвинтового коноїда в лінійчату поверхню з переходом гвинтової лінії в плоску криву // Прикл. геометрія та інж. графіка. Рівняння поверхонь обертання як результату згинання гвинтових лінійчатих поверхонь // Прикл. геометрія та інж. графіка. Bending of screw surfaces in the surface of revolution // Proceedings fifth international conference “New leading-edge technologies in machine building”.
План
2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Результатом виконаних у роботі досліджень є розвязання наукової проблеми конструювання поверхонь на основі підходів натуральної геометрії у поєднанні їх із методами координатного опису та теорією зображень. Розроблена концепція неперервного згинання поверхонь у науковому плані дає напрям подальшим дослідженям, а в практичному - є основою вдосконалення технології виготовлення тонкостінних форм згинанням.
Загальні висновки можна конкретизувати за наступними пунктами: 1. Аналіз літературних джерел з теорії просторових кривих ліній, а також відповідних розділів із диференціальної геометрії показав, що існує проблема переходу від заданих натуральних рівнянь кривих до їх координатного запису а також відповідних розділів із диференціальної геометрії показав, що існує проблема переходу від заданих натуральних рівнянь кривих до їх координатного запису а також візуального відтворення. У звязку з цим була взята за основу кінематична природа руху супровідного тригранника Френе плоских і просторових ліній згідно якої в кожен момент часу тригранник здійснює гвинтовий рух у випадку просторової кривої й обертальний - для плоскої. Рух тригранника повністю визначається кривиною і скрутом кривої у функції довжини її дуги. На основі цього був розроблений кінематичний підхід відтворення кривих ліній моделюванням переміщення тригранника Френе у просторі. Ефективна робота запропонованого підходу стала можливою з появою компютерів, у яких великі обчислювальні можливості поєднуються із миттєвим відтворенням зображення кривих на екрані монітора. Математична модель переміщення тригранника реалізована програмно і перевірена на численних тестових прикладах.
2. Для кривої на поверхні розглянута кінематика супровідних тригранників Френе і Дарбу і встановлено взаємозвязок між кінематичними характеристиками руху тригранників через параметри поверхні і кривої на ній. Виявлено особливості кінематики тригранника Дарбу при переміщенні його по спеціальних лініях поверхні (асимптотичних, геодезичних, кривини), а також по лініях на сфері і циліндрі.
3. На основі вивчення кінематики тригранників Френе і Дарбу кривої на поверхні розроблено метод конструювання поверхонь за заданою напрямною кривою, яка є спеціальною лінією поверхні. Поверхня утворюється рухом твірної лінії, яка певним чином привязана до тригранника Френе напрямної кривої. Прямолінійній твірній відповідає лінійчата поверхня, криволінійній - нелінійчата. Знайдені обмеження на розташування прямолінійних твірних у триграннику Френе, при яких конструйована поверхня буде розгортною. Виведені рівняння точок ребра звороту в системі тригранника Френе.
4. Знайдені аналітичні залежності між кінематикою тригранника Френе напрямної кривої і положенням твірної в його системі, на основі яких створені конструктивні моделі поверхонь окремих класів. До них відносяться лінійчаті із ортогональною сіткою координатних ліній і деякі нелінійчаті (різьблені поверхні Монжа і циклічні із твірним колом змінного радіуса), а також поверхні, представлені сіткою спряжених ліній. Отримані результати підтверджені конкретними прикладами.
5. Створена модель неперервного згинання поверхонь, побудованих у системі тригранника Френе. Вона грунтується на незмінності коефіцієнтів першої квадратичної форми і дозволяє управляти процесом згинання лінійчатих розгортних і нерозгортних поверхонь за рахунок: а) зміни кривини напрямної кривої; б) зміни її скруту; в) зміни кута між прямолінійною твірною поверхні і головною нормаллю напрямної кривої. Виявлено, що спільною ознакою нелінійчатих поверхонь, які допускають неперервне згинання, є така апроксимація їх відсіками торсів, яка допускає сумісне згинання апроксимованих поверхонь.
6. Для деяких конкретних нелінійчатих поверхонь (переносу, різьблених поверхонь Монжа, гвинтових) одержані параметричні рівняння згинання в кінцевому вигляді. Достовірність одержаних результатів підтверджується виразом першої квадратичної форми. Зясовано геометричну суть так званого параметра згинання. Для поверхонь, що згинаються на головній основі спряжених ліній (переносу і різблених поверхонь Монжа) виявлено закономірності зміни натуральних рівнянь напрямної і твірної кривих.
7. Досліджено окрему групу поверхонь, у яких твірними кривими є кола постійного або змінного радіуса. Виявлена залежність між диференціальними характеристиками напрямної кривої, закономірністю зміни радіуса твірного кола і його положенням у триграннику Френе, за якої поверхня буде каналовою. Показано, що частковим випадком таких поверхонь є каналові поверхні Іоахімсталя, у тому числі цикліди Дюпена. Доведено, що такі поверхні завжди можна віднести до координатних ліній із ліній кривини. На основі виявлених властивостей каналових поверхонь Іоахімсталя запропонована модель їх конструювання за заданими вихідними умовами.
8. Зясовано геометричну суть примусового руху матеріальної частинки по поверхні з точки зору взаємозвязку супровідних тригранників Френе і Дарбу траєкторії. Прийнято допущення, що по поверхні робочого органу, який примусово рухається в грунті із постійною швидкістю, частинки грунту теж будуть рухатися із постійною швидкістю в протилежну сторону. При цьому основні сили (окрім сили ваги) мають строго визначений напрям дії в супровідних тригранниках траєкторії (сили інерції і тертя - в триграннику Френе, сила реакції поверхні - в триграннику Дарбу). Виходячи із рівноваги в нормальній площині траєкторії всіх діючих сил, запропонована методика знаходження траєкторій руху частинок грунту по поверхні. З практичної точки зору має значення обернена задача: проектування поверхні, яка забезпечила б необхідну траєкторію руху частинок грунту. Розвязання прямої й оберненої задач продемонстровано на циліндричних поверхнях.
Перспективи подальшого розвитку досліджень в теоретичному і практичному плані вбачаються у виявленні нових груп нелінійчатих поверхонь, що допускають неперервне згинання; конструюванні поверхонь за заданими вихідними даними із застосуванням натуральних параметрів; покращенні проектування та технології виготовлення технічних виробів; розвязанні задачі знаходження траєкторій руху частинок по нерозгортних поверхнях.
3. Пилипака С.Ф. Построение линий откоса нателах вращения // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1990. -Вып.50. -С.88-89.
4. Пилипака С.Ф. Применение методов начертательной геометрии для нахождения скоростей произвольных точек твердого тела, совершающего пространственное движение // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: Будівельник, 1991. -Вып. 51. -С.62-64.
5. Пилипака С.Ф. Дослідження руху твердого тіла, що обертається навколо двох мимобіжних осей // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: Будівельник, 1991. -Вип.52. -С. 34-36.
6. Пилипака С.Ф. Использование компьютера в учебном процессе как средства проверки правильности решения графических задач поначертательной геометрии // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1994. -Вып. 57. -С.96-97.
7. Пилипака С.Ф. Кинематический способ построения плоской кривой по ее натуральному уравнению // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1995. -Вып.58. -С.100.
8. Пилипака С.Ф. Конструювання лінійчатих поверхонь сімями ортогональних ліній // Прикл. геометрия и инж. графика. -К.: КГТУСА, 1996. -Вып.59. -С.55-59.
9. Пилипака С.Ф. Конструювання лінійчатих поверхонь за заданою напрямною кривою, котра є спеціальною лінією поверхні // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КДТУБА, 1996. -Вип.60. -С.87-89.
10. Пилипака С.Ф. Неперервне згинання косого гелікоїда в однопорожнинний гіперболоїд обертання // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КДТУБА, 1996. -Вип. 61. -С. 140-144.
11. Пилипака С.Ф. Неперервне згинання різьбленої поверхні Монжа із плоскими лініями кривини // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КДТУБА, 1997. -Вип.62. -С. 180-183.
12. Войтюк Д.Г., Пилипака С.Ф. Розробка алгоритму автоматизованого проектування полиць плугів із дисципліни “САПР” для студентів спеціальності “Сільськогосподарські машини” // Науковий вісник Національного аграрного університету. -К., 1997. -Вип.2. -С.145-148.
13. Пилипака С.Ф. Компютерна побудова кривих за графіками натуральних рівнянь // Труды Таврической государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.1. -Мелитополь: ТГАТА, 1997. -С.84-86.
16. Пилипака С.Ф. Кінематична інтерпретація руху супровідних тригранників Френе і Дарбу через внутрішні параметри кривих // Науковий вісник Національного аграрного університету. -К.: НАУ, 1998. -Вип.4. -С. 143-146.
17. Пилипака С.Ф. Натуральні рівняння кривої, що належить круговому циліндру // Труды Таврической государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.3. -Мелитополь: ТГАТА, 1998. -С.42-43.
18. Пилипака С.Ф. Конструювання каналових поверхонь Іоахімсталя за заданими вихідними умовами // Прикл. геометрія та інж. графіка. -К.: КНУБА, 1999. -Вип. 65. -С.87-91
20. Пилипака С.Ф. Геометрична суть згинання поверхонь обертання у гвинтові // Труды Таврической государственной агротехнической академии. -Вып.4. Прикл. геометрия и инж. графика. Т.6. -Мелитополь: ТГАТА, 1999. -С.85-88.
21. Войтюк Д.Г., Пилипака С.Ф. До визначення траєкторій руху частинок грунту по циліндричних поверхнях робочих органів грунтообробних знарядь // Збірник наукових праць Національного аграрного угіверситету “Механізація сільськогосподарського виробництва”. -Том 5. “Сучасні проблеми механізації сільського господарства”. -К.: НАУ, 1999. -С. 242-251.
22. Пилипака С.Ф. Практичні аспекти гнуття шнеків сільськогосподарських машин // Збірник наукових праць Національного аграрного угіверситету “Механізація сільськогосподарського виробництва”. -Том 6. “Теорія і розрахунок сільськогосподарських машин”. -К.: НАУ, 1999. -С.149-151.
23. Пилипака С.Ф. Конструювання технічних каналових поверхонь рухом твірного кола в нормальній площині просторової напрямної кривої // Збірник наукових праць Національного аграрного університету “Механізація сільськогосподарського виробництва”. -Т.7. -К.: НАУ, 2000. -С.191-195.
24. А.с. 1784388 СССР, МКИ В 21 Н 7/10. Устройство для изготовления винтообразных ножей / В.С.Обухова, С.Ф.Пилипака, Т.Я.Изаак (СССР). -№ 4683225/27; Заявлено 27.04.89; Опубл. 30.12.92, Бюл. № 48. -4с.