Знайомство з особливостями встановлення умов, при яких існують конфігурації підпросторів гільбертового простору. Аналіз етапів побудови моделей статистичної механіки. Розгляд нерозкладних та транзитивних сімей підпросторів в гільбертовому просторі.
Аннотация к работе
Опис того чи іншого класу найпростіших (незвідних) зображень і відповідні спектральні теореми, які описують зображення як суми чи інтеграли незвідних, посідають важливе місце в арсеналі методів дослідження математичних і природничих задач. Перші результати теорії зображень, зокрема теорії зображень алгебр, були одержані в кінці XIX - на початку XX сторіччя Г. Самойленка та ін. вивчалися алгебри Pn,a породжені скінченною кількістю самоспряжених ідемпотентів, сума яких кратна одиниці, їх узагальнення PG,c та їх зображення. Вивчити конфігурації означає вивчити з точністю до унітарної еквівалентності зображення алгебр АГ,t, породжених твірними-проекторами, асоційованими з вершинами графа Г з розстановкою t чисел на його ребрах. А саме, знайдено лінійний базис алгебри , виписано умови на розстановку чисел на ребрах циклу, при яких існують нетривіальні зображення цієї алгебри, знайдено розмірності незвідних зображень і у виділених базисах просторів незвідних зображень виписані матриці операторів зображень твірних алгебри.В роботі вивчаються набори підпросторів гільбертового простору таких, що кут між кожними двома підпросторами фіксований. Вивчено конфігурації підпросторів, які задаються графами-деревами та уніциклічними графами. Зроблено повний опис усіх незвідних зображень алгебри з точністю до унітарної еквівалентності та знайдено умови на параметри-”кути”, при яких нетривіальні зображення існують. За допомогою спектральної теорії графів, для алгебр, асоційованих з довільними деревами, на ребрах яких стоять рівні один одному числа, встановлено зручний вигляд множин SG допустимих значень праметра.
Вывод
В роботі вивчаються набори підпросторів гільбертового простору таких, що кут між кожними двома підпросторами фіксований.
Вивчено конфігурації підпросторів, які задаються графами-деревами та уніциклічними графами. Сформульовано умови на параметри, при яких існують відповідні нетривіальні конфігурації. Вивчення конфігурацій є вивченням зображень відповідних алгебр AG,t. Наведено опис лінійного базису цих алгебр. Для графа-цикла n-1 доведено відповідні теореми про розмірність алгебри і виписано її лінійний базис.
Зроблено повний опис усіх незвідних зображень алгебри з точністю до унітарної еквівалентності та знайдено умови на параметри-”кути”, при яких нетривіальні зображення існують. За допомогою спектральної теорії графів, для алгебр, асоційованих з довільними деревами, на ребрах яких стоять рівні один одному числа, встановлено зручний вигляд множин SG допустимих значень праметра. Детальні результати наведено для конфігурацій, повязаних з графами Динкіна An, Dn , E6, E7, E8 та розширеними графами Динкіна .
Побудовано вкладення алгебри, асоційованої з циклом, у алгебру матриць над певним кільцем, причому вкладення зберігає зірочку. Введено новий, більш широкий клас алгебр, породжених проекторами, асоційованими з вершинами графа. Встановлено рівність алгебр з нового класу алгебрам з попереднього класу для дерев з додатковою умовою. Показано, що умова на граф є обгрунтованою.
Список литературы
1. Popova N.D. On finite-dimensional representations of one algebra of Temperley-Lieb type // Methods of Functional Analysis and Topology. - 2001. - 7, N.3. - P.80-92.
2. Власенко М.А., Попова Н.Д. О конфигурациях подпространств гильбертова пространства с фиксированными углами между ними// Укр. Мат. Журн. - 2004. - 56, № 5 - С.606-615.
3. Иванов С.В., Москальова Ю.П., Попова Н.Д. О наборах проекторов с соотношениями типа Темперли-Либа, коммутации и ортогональности// Динамические системы. - 2005. - Вып.19. - С.191-198.
4. Popova N. On one algebra of Temperley-Lieb type // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 43, Part 2. - 2002. - P.486-489.
5. Popova N. On representations of one deformed quotient of affine Temperley-Lieb algebra // Proc. of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 50, Part 3. - 2004. - P.1169-1171.
6. Popova N.D., Samoilenko Yu.S. On the Existence of Configurations of Subspaces in a Hilbert Space with Fixed Angles// J. Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications. - 2006. - 2, Paper 055. - P.1-5.