Графический и аналитический методы отделения корней при решении уравнения. Уточнение отдельных корней уравнения: метод половинного деления, последовательных приближений, метод Ньютона. Расчет в программах Excel, MathCAD, на языке программирования Pascal.
Аннотация к работе
Существует значительное число различных программных продуктов (Mathcad, Excel и т.д.), с помощью которых можно решать различные математические задачи. Рабочая область программы представляется как обыкновенный лист, на котором уравнения и выражения отображаются графически, а не в текстовом виде. Несмотря на то, что данная программа ориентирована на пользователей, мало знакомых с программированием, она все же находит применение в достаточно сложных проектах для визуализации результатов математического моделирования с использованием распределенных вычислений и традиционных языков программирования. С ее помощью ведут разнообразные списки, каталоги и таблицы, составляют финансовые и статистические отчеты, обсчитывают данные каких-нибудь опросов и состояние торгового предприятия, обрабатывают результаты научного эксперимента, ведут учет, готовят презентационные материалы.Нам дано уравнение , нужно найти корни этого уравнения на интервале x [1;3], с шагом h=0,2. Точные значения корней уравнения можно найти лишь в простейших случаях таких как (ax2 bx c=0; cos(x)=a и т.д.). Тогда нахождение этих корней с заданной точностью необходимо проводить в два этапа: 1. Отделение корней, т.е. нахождение достаточно малых промежутков, в которых содержится только один корень уравнения; Методы отделения корней весьма удобны и просты.Графический метод основан на построении графика функции y=f(x). Корнем уравнения будет отрезок оси абсцисс, содержащий точку пересечения графика с этой осью.Блок-схема
O Pascal.Однако они дают ответ только на вопрос локализации корня и позволяют найти приближенное значение.Для данного метода нужен отрезок [a;b] с корнем непрерывной функции f(x) внутри и точность определения корня, которая задается “e”Наше уравнение преобразуем к виду x= . Затем просто варьируем параметр л, добиваемся условия сходимости: | |<1 на интервале изоляции корня [1,8 ; 2].O Реализация метода в MATHCADЭтот метод можно рассматривать как частный случай метода простой итерации и рекуррентной формулой и тем же принципом выбора начального приближения x0. В случае неудачного выбора рекуррентной формулы получается расходящийся процесс, и условие сравнения с точностью не достигается. Для исключения подобной ситуации введем счетчик итерации n , увеличивающийся каждый раз на единицу, и поставим искусственное условие продолжения итерации в случае n<=k.Таким образом как видно из выше представленной таблицы более точные результаты корня получены в средах Excel и Pascal, хотя сам процесс уточнения был более прост и быстр в среде MATHCAD.Благодаря различным методам отделения и уточнения корней с любой заданной точностью, а также минимальным необходимым наборам программ, можно находить корни уравнений любой сложности.
План
Содержание
Введение
1. Постановка задачи
2. Метод отделения корней
2.1. Графический метод
2.2. Аналитический метод
3. Метод уточнения корней
3.1 Метод половинного деления
3.2 Метод последовательных приближений
3.3 Метод Ньютона
4. Анализ результатов
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Существует значительное число различных программных продуктов (Mathcad, Excel и т.д.), с помощью которых можно решать различные математические задачи.
MATHCAD - программа для выполнения инженерных и научных расчетов. Рабочая область программы представляется как обыкновенный лист, на котором уравнения и выражения отображаются графически, а не в текстовом виде. Несмотря на то, что данная программа ориентирована на пользователей, мало знакомых с программированием, она все же находит применение в достаточно сложных проектах для визуализации результатов математического моделирования с использованием распределенных вычислений и традиционных языков программирования. Также Mathcad часто используется в крупных инженерных проектах, где большое значение имеет трассируемость и соответствие стандартам.
Excel - пожалуй, самая популярная сегодня программа электронных таблиц. Ею пользуются деловые люди и ученые, бухгалтеры и журналисты. С ее помощью ведут разнообразные списки, каталоги и таблицы, составляют финансовые и статистические отчеты, обсчитывают данные каких-нибудь опросов и состояние торгового предприятия, обрабатывают результаты научного эксперимента, ведут учет, готовят презентационные материалы. Для ведения домашней бухгалтерии Excel тоже вполне подходит.
Pascal - высокоуровневый язык программирования общего назначения. Один из наиболее известных языков программирования, широко применяется в промышленном программировании, а также очень часто в обучении программированию в высшей школе, является базой для большого числа других языков. Был создан Никлаусом Виртом в 1968-69 годах.
Вывод
Благодаря различным методам отделения и уточнения корней с любой заданной точностью, а также минимальным необходимым наборам программ, можно находить корни уравнений любой сложности. Причем это не вызывает особых затруднений, так как все операции выполняются в специальных программах. Например, в MATHCAD уже заложены специальные формулы, позволяющие находить точные значения корней уравнения.
Список литературы
1. Методическая рекомендация к выполнению курсовой работы по информатике. В.Н. Ершов
2. Общедоступная энциклопедия http://ru.wikipedia.org
3. Учебно-методическое пособие к выполнению курсовой работы “Численные методы”. В.Н. Ершов