Сущность экстремальных или оптимизационных задач. Характеристика основных экономических задач линейного программирования. Понятие геометрического метода решения ЗЛП, его этапы. Особенности графического решения уравнений об оптимальном плане производства.
Аннотация к работе
Отметим еще, что термин «программирование» в названии этих разделов теории оптимального планирования весьма условен, связан с историческими обстоятельствами и к программированию в общепринятом сейчас смысле прямого отношения не имеет. Поскольку можно количественно оценить результат каждого действия, каждого управления, то это значит, что известна функция Ф (целевая функция), сопоставляющая каждому возможному в данной модели управлению В зависимости от вида модели M и функции Ф(u) используются различные методы для решения соответствующих оптимизационных задач. Геометрический метод предполагает последовательное выполнение ряда шагов: сформулировать ЗЛП, построить на плоскости прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств, найти полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи, найти область допустимых решений (допустимых планов), построить прямую, соответствующую целевой функции, перемещать построенную прямую параллельно самой себе в направлении увеличения (при максимизации) или уменьшения (при минимизации) определяющей ее константы, определить координаты точки максимума (или минимума) функции. Построим на плоскости (х,у) прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств: 4x y =100 или y =100-4x - на рисунке это линия с координатами (0,100) и (25,0), x y= 70 или x y= 70 - на рисунке это линия с координатами (0,70) и (70,0), x=0 - на рисунке это линия, совпадающая с осью ОУ, y=0 - на рисунке это линия, совпадающая с осью ОХ.Вся разработанная информация сводится в развернутую экономико-математическую модель и заносится на рабочий лист MS Excel В ячейках В2:D3 находится матрица стоимости. В ячейке D8 находится формула вычисления значения целевой функции: = B2*B18 C2*C18 D2*D18 B3*B19 C3*C19 D3*D19 В ячейках B8:B13 расположены значения правых частей ограничений. В ячейках F18: F19 расположены формулы левых частей двух первых ограничений.
План
Исходный план перевозок:
Список литературы
Получим план перевозок: 400060000
020003000
Целевая функция: F =43000.
Задача о диете - корма для животных.
Для откорма животных на ферме в их еженедельный рацион необходимо включать не менее 33 единиц питательного вещества А, 23 единицы питательного вещества В и 12 единиц питательного вещества С. Для откорма используются три вида кормов. Данные о содержании питательных веществ и стоимость одной весовой единицы каждого из кормов даны в таблице: АВССтоимость одной весовой единицы.
В одной весовой ед. корма 14ед.3 ед.1 ед.20 коп.
В одной весовой ед. корма 23 ед.2 ед.1 ед.20 коп.
В одной весовой ед. корма 32ед.1 ед.2ед.10 коп.
Составить наиболее дешевый рацион, при котором каждое животное получало бы необходимые количества питательных веществ А, В, С.
Решение
Выберем поисковые переменные: x1 - колво весовых единиц корма 1, x2 - колво весовых единиц корма 2, x3 - колво весовых единиц корма 3.
Ограничения:
IMG_0cb233e3-291b-4bec-8ddd-73c5c7a434e1
Целевая функция:
IMG_fa055844-c33c-4e19-84d6-d26ebe115b71
Поскольку поисковые переменные должны удовлетворять ограничениям, то в качестве начального плана выберем: x1 =12 , x2 =0, x3 =0 .
Расположение данных задачи планирования на рабочем листе ЭТ Excel. (формулы).
IMG_5080d4ac-eff2-492c-bd01-af41b0793a16
Результаты на рабочем листе ЭТ Excel.
IMG_fb62eb31-2f35-4603-a9cf-452af0b79925
Ниже приведен отчет о результатах оптимизации
IMG_a5a78f14-5aa6-416f-a327-86b5aea53c17
6. Задачи для самостоятельного решения
Смесь
Необходимо составить наиболее дешевую смесь из трех веществ. В состав смеси должно входить не менее 6 единиц химического вещества А, не менее 8 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Имеется 3 вида продуктов, содержащих эти химические вещества в следующих пропорциях: АВССтоимость
I2132руб.
II124Зруб.
III31.522.5руб.
Задача о сырье
Имеется три вида сырья -А, В , С, которые используются для производства двух видов продуктов- I и II. В распоряжении находится 500 единиц сырья А, 750 единиц сырья В и 200 единиц сырья С.Продукт I состоит из 1 единицы сырья А и 2 единиц сырья В. Продукт II состоит из 2 единиц сырья А,1 единицы сырья В и 1 единицы сырья С. Доход от производства одной единицы продукта I составляет 4 руб.,а от одной единицы продукта II -5 руб. Сколько единиц каждого продукта нужно производить, чтобы максимализировать прибыль?
Задача о бензине
На нефтеперерабатывающем заводе имеется три вида сырья: алкилата - 1000 литров, крекинг-бензина - 1500 литров, бензина прямой перегонки - 800 литров, Это сырье используется для производства двух видов бензина- I и II. Бензин I состоит из 1 единицы алкилата, 2 единиц крекинг-бензина и 2 единиц бензина прямой перегонки. Бензин II состоит из 2 единиц алкилата ,1 единицы крекинг-бензина и 1 единицы бензина прямой перегонки. Сколько литров каждого вида бензина I и II нужно производить, чтобы максимизировать прибыль, если доход от производства одного литра бензина I составляет 35 рублей, а от одного литра бензина II -50 рублей?
Задача о мебельном цехе
Мебельный цех получает ежедневно 40 досок первого сорта и 19 второго сорта. Цех выпускает столы и стулья, при этом на изготовление стола требуется 4 доски первого сорта и одна доска второго сорта, а на изготовление стула - 1 доска первого и одна доска второго. Прибыль же от стола составляет 8 руб., а от стула - 6 руб. Какой план работы будет наиболее выгоден этому цеху.
Гнездо хищника
Гнездо хищника находится в точке А, а два потенциальных источника пищи хищника в точках В и С. Время, необходимое хищнику для того, чтобы добраться до участков В и С и возвратиться с единицей добычи, равно 2 и 3 минутам соответственно. В точке В хищник затрачивает на поимку единицы добычи х1 2 минуты, а в точке С - 1 минуту, чтобы поймать единицу добычи х2. Энергетическая эффективность единицы х1 оценивается в 25 Дж, а единицы х2 в 30 Дж. На путь из гнезда в любой из участков и обратно хищник может затрачивать не более 120 минут в сутки и на поиск жертв он может тратить не более 80 минут в сутки. Определить максимальную энергетическую эффективность хищника при поимке добыч х1 и х2.
Экспедиция «Северный полюс»
Участник экспедиции «Северный полюс» укладывает рюкзак и ему требуется решить, какие положить продукты. В его распоряжении имеются мясо мука, сухое молоко и сахар.
В рюкзаке для продуктов осталось лишь 45 дм3, и нужно, чтобы суммарная масса продуктов не превосходила 35 кг. Врач экспедиции рекомендовал, чтобы мясо по массе было больше муки по крайней мере в два раза, муки не меньше молока, а молока по крайней мере в восемь раз больше, чем сахара.
Сколько и каких продуктов нужно положить в рюкзак с тем, чтобы суммарная калорийность продуктов была наибольшей? Характеристики продуктов приведены в таблице.
Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой металл, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов, их стоимости представлены в таблице. Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами)должна составить 14м2; из них не менее 4 м2 и не более 5м2 следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект?
ХарактеристикиМатериалы
металлстеклопластмасса
стоимость (руб/м2) масса (кг/м2)25 1020 1540 3
Звероферма
Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 100 000 клеток. В одной клетке могут жить либо 2 лисицы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и не менее 6000 песцов. В одни сутки каждой лисе необходимо выдавать 4 единицы корма, а каждому песцу 5 единиц. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисицы ферма получает прибыль в 10 руб., а от песца 5 руб. Какое количество лисиц и песцов нужно держать на ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?
Дневной рацион - задача о диете
Для поддержания жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять не менее 118г белков, 56г жиров, 500г углеводов, 8г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг каждого вида потребляемых продуктов, а также цены 1кг каждого из этих продуктов приведены в следующих таблицах: Питательные вещества Содержание питательных веществ в 1 кг продуктов (г)
МясоРыба Молоко Масло Сыр Крупа Картофель
Белки 180190 30 10 260 130 21
Жиры 203 40 865 310 30 2
Углеводы __ 50 6 20 650 200
Минеральные соли 910 7 12 60 20 10
Цена за 1 кг продуктов (руб.)
МясоРыба Молоко Масло Сыр Крупа Картофель
31,821 4,28 25,4 32,9 6,5 3,1
Составить дневной рацион, содержащий не менее минимальной суточной нормы потребности человека в необходимых питательных веществах, так, чтобы общая стоимость продуктов была минимальной.
Авиапредприятие - транспортная задача.
Авиапредприятию необходимо решить, какое количество топлива следует закупить у трех поставщиков, если имеют место следующие ограничения: заправка самолетов осуществляется в 4х аэропортах;
нефтяные заводы имеют возможности поставок - 2,5 миллиона литров, 5 миллионов литров и 6 миллионов литров соответственно;
распределение топлива по аэропортам осуществляется в следующих количествах - 1 миллион литров, 2 миллиона литров, 3 миллиона литров и 4 миллиона литров.
Составить модель оптимального прикрепления поставщиков, если стоимость доставки 1000 литров топлива задается таблицей
I поставщикII поставщикIII поставщик
1 аэропорт129101 млн литров
2 аэропорт1011142 млн литров
3 аэропорт811133 млн литров
4 аэропорт111394 млн литров
2,5 млн литров5 млн литров6 млн литров
Нефтеперерабатывающий завод
Нефтеперерабатывающий завод получает 4 полуфабриката: алкилата 400 литров, крекинга бензина - 250 литров, бензина прямой перегонки - 350 литров, изопентана - 300 литров.
В результате смешивания этих четырех компонентов в отношении 2:3:5:2 образуется бензин А, стоимостью 120 руб за литр, в отношении 3:2:2:1 - бензин В - стоимостью 100 руб за литр, в отношении 2:2:1:3 - бензин С - стоимостью 150 руб за 1 литр. Определить такой план смешивания компонентов, при котором будет достигнута максимальная стоимость всей продукции, причем завод доложен выпустить бензина А не менее 400 литров, бензина В - не менее 100 литров, бензина С - не менее 100 литров.