Разработка структурно-логической организации одномерной компьютерной системы программного задания поперечной подачи шлифовального круга. Синтез устройства обработки сигнала поперечной подачи шлифовального круга. Анализ эффективности компьютерной системы.
Аннотация к работе
При разработке средств автоматизации технологических процессов алмазного шлифования (АШ) нашел применение метод программного задания поперечной подачи шлифовального круга (ШК) [1]. Достижение поставленной цели достигается путем решения следующих задач: ? разработка концепции структурно-логической организации одномерной КС программного задания поперечной подачи ШК; Структурно-логическое построение одномерной КС программного задания поперечной подачи ШК представлена на рис. Блок П состоит из таких функциональных модулей: преобразователь синусоидального сигнала в импульсный, который выполнен на базе транзисторного ключа; десятиразрядный счетчик импульсов, который обнуляется после считывания информации устройством цифровой обработки сигнала. Поэтому если нужно учесть n значений выходного и m прошлых значений входного сигналов, то некоторый произвольный линейный алгоритм работы ВБ описывается так IMG_1d6c461d-0d27-4745-bc99-9d91e79af147 , (5) где е, е1 - входной и выходной импульсные сигналы блока ВБ; ?r - период решетчатой функции; ? - дельта-функция Дирака; av и b? - заданные постоянные коэффициенты.На основе метода отработки рассогласований между измеренными значениями подач ШК и их оптимальными значениями, которые хранит банк данных процесса АШ, построена архитектура КС. В результате анализа структурно-логической схемы с использованием дискретного преобразования Лапласа построена эталонная модель КС.
Введение
При разработке средств автоматизации технологических процессов алмазного шлифования (АШ) нашел применение метод программного задания поперечной подачи шлифовального круга (ШК) [1]. Реализация этого метода одномерной компьютерной системой (КС) сокращает на 20% время обработки детали и обеспечивает получение заданного «квалитета» чистоты обработанной поверхности.
Целью статьи является разработка одномерной КС программного задания поперечной подачи шлифовального круга (ШК) и анализ эффективности ее аппаратных средств. Достижение поставленной цели достигается путем решения следующих задач: ? разработка концепции структурно-логической организации одномерной КС программного задания поперечной подачи ШК;
? математическое моделирование блоков КС;
? синтез устройства обработки сигнала поперечной подачи ШК;
? анализ эффективности КС.
Методика синтеза аппаратных средств компьютерный программный шлифовальный круг
Она состоит из таких вычислительных процедур: ? моделируем функциональные блоки КС в виде передаточных функций
IMG_221764df-fb24-4446-942a-b04b019421b1 ;
? в результате статистической обработки экспериментальных данных с использованием информационного подхода устанавливаем полосу нечувствительности первичного преобразователя вокруг номинальной характеристики преобразования
IMG_ec94e286-344b-4fdb-a828-b008e87f9e6d ;
? в результате анализа структурно-логической схемы КС и математических преобразований определяем его передаточную функцию
IMG_ea796e39-8cc5-4c78-9f2d-b07446696b43 ;
? исследуем передаточную функцию. При этом определяем ее нули и полюсы, запас устойчивости по амплитуде и фазе, строим частотные характеристики. В результате получаем упрощенное выражение для передаточной функции;
? моделируем помехи КС и посредством методики суммирования случайных составляющих устанавливаем полосу неопределенности выходного сигнала;
? представляем входной сигнал КС ограниченным рядом Фурье;
? решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, которые описывают динамику аппаратно-программных средств, существенно упрощается применением преобразования Лапласа. Выходной сигнал КС получается согласно теореме о свертке. Для его вычисления применим обратное преобразование Лапласа к выражению для передаточной функции;
? определяем дискретную передаточную функцию КС
IMG_b3fe4edd-927a-4117-b534-a9296e3df8cb ;
? в качестве эталонной модели при синтезе устройства цифровой обработки используем выходной сигнал;
? строим имитационную модель и устанавливаем эффективность КС.
Моделирование элементов КС
Разработку одномерной КС выполним на основе метода непосредственного цифрового управления с использованием микроконтроллера и метода отработки рассогласований между оптимальными значениями подач ШК, которые хранит банк данных, и их измеренными значениями. Структурно-логическое построение одномерной КС программного задания поперечной подачи ШК представлена на рис. 1. На этом рисунке обозначено: Д - датчик положения, П - преобразователь, ЭП - электрический привод, ИМ - исполнительный механизм. Выполним моделирование блоков КС.
IMG_b43d06d1-4bde-48d8-97e8-0fbc9342aa63
Рис. 1 Структурно-логическое построение КС
Привод поперечной подачи ШК снабжен устройством для измерения линейных перемещений в виде фотоэлектрической линейки LS-101. Это устройство формирует синусоидальный выходной сигнал, количество периодов которого определяет величину поперечной подачи на текущий проход ШК. Чувствительность фотоэлектрической линейки LS-101, которая используется для измерений, составляет 0.1 мкм. В динамическом отношении блок Д представим пропорциональным звеном с некоторой полосой нечувствительности вокруг его номинальной характеристики преобразования [2].
Блок П состоит из таких функциональных модулей: преобразователь синусоидального сигнала в импульсный, который выполнен на базе транзисторного ключа; десятиразрядный счетчик импульсов, который обнуляется после считывания информации устройством цифровой обработки сигнала. Специфика работы этого блока позволяет представить его апериодическим звеном с известным запаздыванием [2]
IMG_d311d7a4-cc88-4047-b081-f372c0a95360
, (1) где
IMG_e824520f-cf10-4451-b22c-8f3674006a14 - соответственно коэффициент передачи, запаздывание и постоянная времени блока П.
С учетом полосы
IMG_1b862b57-9f63-4aa1-aa8f-97e15d5add42 нечувствительности Д вокруг номинальной характеристики преобразования имеем такую передаточную функцию
IMG_67a3ba38-67f2-4ce6-a7ea-6fc4f6905f2d
. (2)
Работа цифроаналогового преобразователя (ЦАП) организована в соответствии с принципом «удержания», то такое устройство является экстраполятором нулевого порядка. Выходной сигнал экстраполятора нулевого порядка является ступенчатым. Тогда импульсная передаточная функция ЦАПА является реакцией на дельта-функцию единичной площади при нулевых начальных условиях
IMG_b1b66a30-3e44-4e9a-9674-1a0ae9478d9e
. (3)
Из работы [3] известно, что
IMG_97e96b49-f50a-4935-aa54-5dd8cc447703 .
Тогда с учетом выражения (3) имеем
IMG_704f6ba6-fa0f-4bf1-be9d-dd0568180c65
. (4)
ВБ выполняет линейные операции, которые связаны с дифференцированием, интегрированием, сложением и т.п., то его можно представить линейным импульсным фильтром. В составе ВБ всегда имеется запоминающее устройство, которое позволяет помимо текущих значений входных и выходных сигналов учитывать их прошлые состояния. Поэтому если нужно учесть n значений выходного и m прошлых значений входного сигналов, то некоторый произвольный линейный алгоритм работы ВБ описывается так
IMG_1d6c461d-0d27-4745-bc99-9d91e79af147 , (5) где е, е1 - входной и выходной импульсные сигналы блока ВБ; ?r - период решетчатой функции; ? - дельта-функция Дирака; av и b? - заданные постоянные коэффициенты.
Выполним над левой и правой частями соотношения (5) преобразование Лапласа при нулевых начальных условиях. Согласно определению (2.1) работы [3] и теоремы запаздывания, получим
IMG_4b9e0dc3-09e6-43f5-8569-afc2a16b3e99
.
Отсюда, обобщенная передаточная функция ВБ как некоторого произвольного цифрового фильтра имеет такой вид
IMG_2cf0a121-179a-48d0-bc6f-51ef2237ba21
.
Наиболее общий случай представления передаточной функции ВБ имеет место, когда m = 1, n = 0, b0 = ?r-1 и b1= -?r-1. В этом случае последнее выражение приобретает такой вид
IMG_2519ee10-5438-4243-b9b1-139832c58931
. (6)
Привод поперечной подачи ШК без потери точности представим такой передаточной функцией [2]
IMG_28413d4c-80be-4186-aa0e-bd305d0a61c2
. (7)
Анализ модели КС
Структурно-логическое построение математической модели КС представлена на рис. 2. Банк данных процесса АШ хранит величины поперечной подачи ШК в виде оптимальных углов поворота ИМ. Выполним анализ этой схемы с целью получения выражения для передаточной функции.
IMG_b9250594-4530-4b8a-b6b3-9fe0ac7ba36f
Рис. 2 Структурно-логическое построение модели КС
Динамические особенности работы блоков ДП и ИП в составе КС позволяют представить их пропорциональным звеном с запаздыванием [2]. Передаточная функция такого звена имеет вид
IMG_42246e4b-54a1-4712-93c4-738d83d84463
, (8) где
IMG_67604dc9-0e2c-4912-ad9a-e3c4be75c250 - коэффициент усиления выбираем из условия нормирования,
Передаточная функция КС после математических преобразований получена в таком виде
IMG_b6f53173-8e7d-49bd-b291-cb9b815f5544
, (9) где
IMG_fa994c77-b0e3-46cf-a6ef-7b950d6f5f78 ,
IMG_222b7a5b-1792-431a-9a6a-f961f2903167 ,
IMG_2599693c-03a5-4a86-bd50-8b3a12de7be4 ,
IMG_4880f191-4e12-4db8-affc-0a7a0d472b5d .
Частотные характеристики КС представлены на рис. 3. При получении входного сигнала КС учтем следующее: ? во время прямого и обратного хода ШК фаза выходной величины изменяется на 1800;
? прямой и обратный ход образуют период основной гармоники частотного представления входной величины.
С учетом вышеизложенного такой сигнал наиболее полно соответствует специфике поставленной задачи
IMG_1f562658-f7ad-4682-a037-ffc87435bbde
(10) где
IMG_4e0071aa-34cf-49e7-89df-ad5f3489de93 , t2 - время взаимодействия ШК с обрабатываемой поверхностью детали.
IMG_52b2d2f2-41ba-4156-9fde-c94125f383bd
Рис. 3 Результаты исследований КС
Разложение сигнала (10) в ряд Фурье имеет следующий вид
IMG_4fd1269c-d5a2-4785-9e8f-452389bd928f
. (11)
Преобразуем последнее выражение путем замены гармонических составляющих суммой экспоненциальных сигналов
IMG_e8ec63eb-b2e3-43b2-b1cd-fe1be57c4c7b
, (12) где
IMG_a81e60ee-51ac-41b7-9a55-ae2ed1de0ffa .
Для вычисления интеграла свертки применим обратное преобразование Лапласа к уравнению (9). После преобразований имеем такое выражение
IMG_0e565b5e-0d5e-42d5-97da-4bc05d7af1e6
, (13) где
IMG_a02f2dbe-f240-4d74-9ca0-ba183fc958cd .
Расчет корней характеристического уравнения передаточной функции (9) дал такие результаты: ans = 1.0e 004 *
-4.5731
-3.6239
-2.4529
-0.1339
Интеграл свертки на основе выражений (12) и (13) дал уравнение, которое описывает динамику выходного сигнала КС
IMG_5d99d664-3910-4f91-aca8-dd0c97437852
. (14)
Для вычисления дискретной передаточной функции привода поперечной подачи ШК раскладываем выражение (7) на простые дроби. Дискретная передаточная функция привода после преобразований получилась в виде отношения двух степенных полиномов
IMG_d082a82d-9aad-4aa3-81f3-9ffad938fedf
, (15) где
IMG_094d7aa2-2afb-4571-885a-d0eb4e2f33e3 ,
IMG_90121b19-f89c-46f6-950f-6db5f63bf120 ,
IMG_dbfe72fc-1183-487d-8ea5-9bfbdb64858b
IMG_8c737887-0ed5-4d36-a7ce-521cfb01c368 ,
IMG_4f62b047-68ce-47f0-b2c8-c2be545342a8 ;
IMG_c54f8ba4-e78c-4a19-b674-321f21a2039a
;
IMG_bf42d62c-f38c-4a19-8927-12113caa378e
;
IMG_92f4a449-da1e-43ea-86fe-dceb4c7f0422 ;
IMG_ab4f84c8-2d86-472d-aa4c-821a5578c4ba
;
IMG_74f6c8df-027c-4cc7-bd12-349254f8f01c ;
IMG_b5d27c3a-663c-4fbd-ab0f-2a2cb4a9b808 .
Блоки П, устройство цифровой обработки сигнала и ЭП вносят запаздывание в работу КС. Будем считать, что дискретное время запаздывания КС по входному сигналу, равное сумме запаздываний указанных блоков, составляет 2Т0. Соответственно порядок модели КС составляет d=3. С учетом этого запаздывания дискретная передаточная функция привода получилась в виде
IMG_cf46b28f-bfe3-4f29-8e24-418ebeb1fe4d
. (16)
Дискретная передаточная функция по возмущению после преобразований получилась в виде отношения двух степенных полиномов
IMG_836fdc73-b406-4be2-808a-7621d1f7b2ef
. (17)
Синтез устройства цифровой обработки сигнала
В основу разработки этого устройства положен метод синтеза на базе эталонной модели КС. Закон отработки входного сигнала КС на основе использования эталонной модели имеет такой вид
IMG_cd6b5d37-5289-4a55-8dba-546d61d66089
, (18) где
IMG_d37f7bf0-d841-4940-b4a4-9e854d84c22d - сигнал поперечной подачи ШК в дискретные моменты времени
IMG_67b63758-be37-4e56-8f09-d24a13fe2762 ;
IMG_32382ef9-08c7-4b40-bf6b-c3cc6721d133 - полиномиальные выражения относительно оператора сдвига, а именно
IMG_17b1c6ce-94b3-4742-8642-147ba616dc9b
, (19)
IMG_26731fd0-5f89-4ac3-893d-12ac2ac0f744
, (20)
IMG_960e0822-2922-4101-9eef-96f20a8a091c
. (21)
Процедура синтеза устройства цифровой обработки сигнала сведена к задаче определения параметров полиномов
IMG_6ee24bf3-4828-4fe3-99c4-c07a59ec4cc9 ,
IMG_b59ff294-75dc-4630-aba4-4b80de86ed9c и
IMG_79682ca6-ca34-4606-8686-b138d208b524 таким образом, чтобы основной контур был устойчивым. Реакция этого контура на изменение входного сигнала определяется эталонной моделью КС. Уравнение эталонной модели имеет вид
IMG_cb44efd8-9964-49ef-a6dd-9aadb0749e41
. (22)
Цель КС ликвидация ошибки рассогласования. Для этого нужно подобрать многочлен
IMG_9d0ca087-640c-4367-87ea-7dd3eeba1623 такой, чтобы выполнялось такое равенство
IMG_062de77e-d04f-4c03-a07d-00a902c2ae69
. (23) де
IMG_3972b88a-013f-41d6-86b6-c3ca7692b216 - стохастическая помеха, которая действует на выходной сигнал.
Полином
IMG_09728519-422c-45dd-ad10-b195d7516e9d определяет динамику переходного процесса основного контура при устранении ошибки рассогласования. Поскольку величиной погрешности
IMG_c5864bd0-5165-4c82-a957-fd7980156602 можно задаться, а ширина
IMG_0270cb84-9ab6-45f9-9591-f8741668558b интервала неопределенности определена, то полином
IMG_1119a1ff-69b7-4d85-b7b8-fdbd9b3f3d22 приобретает вид
IMG_1f343540-2d10-4770-8afb-a6e40768beba
. (24)
Полином
IMG_aa00c67e-9e93-4d0d-b5a4-d2893ed4b77c представим в виде
IMG_225bff0b-88d8-4957-8d25-1ef47d9d3b02
, где
IMG_a7c36d78-e565-4507-b4bc-f7f465713fe2 . (25)
Характеристическое уравнение, которое определяет динамику основного контура, будет равняться полиному
IMG_d369e74c-ddc5-42bd-957d-93d0503e814a , то есть
IMG_d142dcf6-5d50-4006-852e-26c4aa8de8a7
. (26)
С учетом этого дискретная передаточная функция основного контура КС примет вид
IMG_ed50cb7e-ef31-47ce-a2a1-70d6f324e7de
. (27)
Задача аппаратно-програмных средств состоит в обеспечении соответствия выходных сигналов эталонной модели (22) и основного контура (27) на изменение входного сигнала. Следовательно, можно приравнять правые части этих уравнений. В результате получим следующее выражение
IMG_ff6067ea-637d-4bc7-ad68-19cd77c17a35
. (28)
Отсюда, после преобразований имеем такое выражение
IMG_20dedc11-8ccd-4597-b8b1-b0faf16773d2
, (29) где
IMG_93490ab6-32a9-4e14-9f7a-2cf15b9ed456 ,
IMG_cd19538a-3dfa-4ecd-90fc-aa31655343eb ,
IMG_1eaeb943-8be3-4fa6-839e-6255cfbde374 ,
IMG_68ee32ce-7aad-4c68-8aa6-41a1fe2ee9bf .
Выполним синтез устройства цифровой обработки сигнала поперечной подачи ШК в условиях действия помех. Запишем прогнозируемое значение выходной координаты привода
IMG_ed4580c2-fdb5-4f12-b5e3-d2945b6a736e
. (30)
Определим из последнего выражения входной сигнал и подставим его в уравнение (18). После этого уравнение отработки входного сигнала КС примет такой вид
IMG_e62a90c4-a492-45c4-af9c-56c265f3c6f7
. (31)
Принимая во внимание то, что
IMG_47ccb897-2930-4c9c-b543-7632b7b6fbd8 , уравнение отработки входного сигнала КС запишем в виде
IMG_fc7f5a3b-1afe-4b9f-9139-438647a01873
.
Выходной сигнал КС на ИМ поперечной подачи ШК имеет вид
IMG_5ef3a7af-3097-465f-b540-c1acfba31dcd
. (32) где
IMG_e6d4e559-a283-4817-a504-e59e5ae269b2 .
Представим входной сигнал КС в виде единичной функции, которая имеет амплитуду
IMG_e8a14d26-829b-4502-9468-ecb533f219fc . Соответственно этот сигнал в форме z-преобразования имеет вид
IMG_535d9e56-920c-4cb5-875f-87d50d2f9c2f
. (33)
Для установившегося режима работы устройства цифровой обработки сигнала (ошибка рассогласования равняется нулю) имеем
IMG_c26f89ee-7e33-4147-b2df-a5245d5253a5
. (34)
После подстановки в это уравнение выражения (33) и преобразований получим полином
IMG_c2875338-e313-48f6-84b3-dae12927323f в таком виде
IMG_3d00721b-e2b0-4bcb-b5fd-ef0b818d7dab
, (35) где
IMG_7c298d5e-0a9a-448f-b501-fe50e91e1942 ,
IMG_067f03c0-8a87-47a6-83c0-24ecf1e54697 ,
IMG_efb176bc-92f9-4d86-b00c-a0dbd3cfdcba .
При отсутствии входного сигнала из выражения (18) имеем
IMG_b92aa403-d887-4fa8-88f9-6a284993df54
. (36)
С учетом того, что
IMG_fd67b0e9-de80-44e0-99de-07899551e786 , имеем такое уравнение
IMG_7cdbb93e-3e04-4ee1-8d14-7812a47a57fd
.
Отсюда, после преобразований получен полином
IMG_4ad30dcd-d51c-44dd-9002-dda6eee8c05f в виде
IMG_fe056ffd-456c-4974-bc17-67ebcd7ceef3
, (37) где его коэффициенты имеют такие значения
IMG_0267684f-66a0-48db-bda9-00c2748f8de1
,
IMG_e3538cae-d21d-47ca-a250-c62f712bd634 ,
IMG_a52f346b-3ca5-472b-9e23-eed959a9cf63 .
Получим передаточную функцию устройства цифровой обработки сигнала поперечной подачи ШК. Из выражения (31) с учетом уравнения (30) после преобразований имеем
IMG_d98a3169-9901-408d-be09-9d99a381f763
. (38)
Отсюда, после замены
IMG_99ed9ae9-bcc1-45ca-a750-dcdbf6f91bfa и преобразований получим передаточную функцию устройства цифровой обработки сигнала в таком виде
IMG_ca7edc92-af6f-4d7b-9a86-815af64cbd10
. (39)
После подстановки коэффициентов полиномов
IMG_65b422d1-d53d-4191-a87d-4817e884c9fe ,
IMG_581212d6-9d15-4fb5-8be0-c653d4c61504 ,
IMG_d5265414-40a5-420f-9e41-8059f1ab61c3 и
IMG_31b34347-67aa-45fb-b0e5-13583269c7e9 в выражение (39) и преобразований получим передаточную функцию устройства цифровой обработки сигнала в таком виде
IMG_da914076-b535-4e14-a516-f1952f00e78d
. (40)
На основе выражений (16), (17), (25), (29), (35), (37) и (40) собрана имитационная модель КС (рис. 4).
IMG_e24cab4c-b0bc-4118-8d18-8c958dfb6557
Рис. 4 Имитационная модель КС
Вывод
На основе метода отработки рассогласований между измеренными значениями подач ШК и их оптимальными значениями, которые хранит банк данных процесса АШ, построена архитектура КС. В результате анализа структурно-логической схемы с использованием дискретного преобразования Лапласа построена эталонная модель КС. На основе минимизации квадратичного критерия качества с использованием эталонной модели КС синтезировано устройство цифровой обработки сигнала поперечной подачи ШК. Построена имитационная модель КС. В результате имитационного моделирования установлено, что время отработки входного сигнала составило 0.04 с, что удовлетворяет требованиям по производительности КС. Вид выходного сигнала - колебательный. Программное задание поперечной подачи происходит во время пауз между прямым и обратным ходом ШК. Соответственно, переколебания выходного сигнала не оказывают влияния на точность задания.
Список литературы
1. Еникеев А.Ф. Оптимальное управление технологическим процессом алмазного шлифования. Краматорск: ДГМА, 2001. 160 с.
2. Синтез цифрового регулятора поперечной передачи шлифовального круга / Еникеев А.Ф., Зыков И.С. // Вестник Национального технического университета «ХПИ». Харьков: №57, 2008. С. 87-93.
3. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы: Учебное пособие / [Гл. ред. В.В. Солодовников]. М.: Высшая школа, 1991. 255 с.