Исследование метода разделения переменных для уравнения теплопроводности и для волнового уравнения. Реализация данного метода для уравнений в системе Maple при помощи метода Фурье. Построение графиков решения теплопроводности волнового уравнения.
Аннотация к работе
Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из самых распространенных методов решения уравнений с частными производными. Это метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных. Такая схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье. Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. Метод разделения переменных называют методом Фурье в честь Жана Батиста Фурье, построившего данный метод.IMG_5df88342-fc76-4af9-9d16-717f655b4099
IMG_f2dab6c7-7621-4edf-8383-66cc92dfa7a1Рассмотрим данный метод на примере уравнения теплопроводности. Необходимо найти решение следующей задачи: IMG_00b76411-ce07-4617-92bd-916b8036521d (1) удовлетворяющей граничным условиям Для уравнения с частными производными разделение переменных - это поиски решения вида Общая идея заключается в том, чтобы найти бесконечное число таких решений уравнения с частными производными (которые удовлетворяют граничным условиям).IMG_c6ce4136-910a-4906-bf95-380a90ebbe5f которая является решением нашей задачи (1), и, которая удовлетворяет нашим условиям (2) и (3). Подставляем решение (4) в уравнение (1). IMG_907865f0-62bb-4c16-bd78-8f0035e8fb25 . Так как IMG_6a4704ae-83ce-42bf-befe-d4f2ee7476b3 и IMG_865e032d-a729-475a-a973-25474fa779c8 не зависят один от другого, то каждая часть этого уравнения должна быть константой. Произведение соответствующих решений будет удовлетворять исходному решению с частными производными. И это решение удовлетворяет уравнению (1).IMG_415eceb8-4d6a-4edc-ade3-6e669364da9d - непрерывная функция, заданная на отрезке [0,1] теплопроводность волновое уравнение фурье Решение будем искать в виде: IMG_91bf95fa-5a6d-4875-a332-b4bbedb1a1e0 Подставим искомое решение в исходное уравнение и разделим полученное выражение Приравниваем левую часть полученного равенства к константе Подставляем в решение первое граничное условиеДля этого вставим в программе в наше решение конкретные значения коэффициента и начального условия Объявляем, чему равен коэффициент а объявляем конкретное начальное условие выведем решение после объявления данных Решение для этого случая выглядит следующим образом: Для построения графика возьмем первые три ненулевых члена решения. Так как четные члены равны нулю, нужно взять сумму первых пяти слагаемых нашего решения.IMG_7596e977-4573-40f9-959a-0e4067094fa1
IMG_489d4852-1b38-484b-b539-5ef5ef2dc3dc
IMG_fb7d2b7b-55fc-460a-ac75-457872e55fd9
IMG_e95cc9f0-40fb-447c-ace7-d4111b39be6c
IMG_36c4819a-c2f5-47fe-9ed6-d93fc3291754
IMG_bc8d1dbc-3b0a-40c0-bc94-78112c73ef5a
IMG_04d67dd4-bd69-4708-8d16-47dc7b202fb2
IMG_986ffb21-4fa9-4093-b6ee-9b1100845f8b
IMG_ec3f425d-35da-4e25-9862-6dbfb3f87e2c
IMG_a55f4475-7da7-4529-a56e-65040f47f80c
IMG_8c8d2877-0e3c-4e63-96e2-1ef237e50b00
IMG_8c9ac72d-69e5-4669-a129-57f29fd5695b
IMG_ad5b2156-279c-4024-a74e-15a0ab6cba95
IMG_754ca55b-4589-4da9-b7ad-eb73c31e4b31
IMG_7a2686e1-706c-4677-9cb8-969d5e084dd5
IMG_58fb5597-867d-4a7b-b999-0478133ef2bc
IMG_1b4f7fcf-1d6d-4e8d-81cc-e29b87824c42
IMG_c7c1d092-6691-4395-af98-ec8a725fc071
IMG_e039ab11-ab31-42df-abd8-56f76325d41d
IMG_580807b5-d10e-4316-b9c8-4a2ca2f4517d
IMG_50bfb908-e15a-42d2-8bf1-3f2a75ae7dea
IMG_efcd4f7e-779d-4518-9991-d5017eaec47bТребуется найти решение уравненияПодставляя решение (4) в исходное уравнение (1), получаем В левой части этого равенства стоит функция, которая не зависит от Случай, когда IMG_9684475c-80fd-448f-9b66-bf4f403152f1 , мы не рассматриваем, так как в этом случае получается решение, которое не будет удовлетворять граничным условиям (2). Из этих равенств получаем два уравнения Решим эти уравнения и получимIMG_99570e57-dfad-4ed3-a844-4027dc256e70 обозначаем константу следующим образом Решение будем искать в виде Подставим искомое решение в исходное уравнение Приравниваем правую часть полученного равенства к константе IMG_9173a089-2c43-4338-b4b1-23238b654e83 подставляем в решение первое граничное условиеДля этого вставим в программе в наше решение конкретные значения: IMG_f304e26c-9f8a-40ba-ae6d-308ee4dda008 Изобразим графики с помощью команды IMG_c17636c0-3c57-4f92-b1c9-e4ee7e75844a На Рис.4 изображен график при на Рис.5 изображен график при На последних трех рисунках изображены графики первых трех членов решения.Созданы программы в системе Maple, позволяющие продемонстрировать нахождение решения уравнений медом Фурье.
План
Содержание
Введение
1. Метод разделения переменных для уравнения теплопроводности
1.1 Постановка задачи
1.2 Описание метода
1.3 Программа в системе Maple, реализующая метод
1.4 Частный пример
2. Метод разделения переменных для волнового уравнения
2.1 Постановка задачи
2.2Описание метода
2.3 Программа в системе Maple, реализующая метод
2.4 Частный пример
Заключение
Список используемой литературы
Введение
Метод разделения переменных или метод Фурье является одним из самых распространенных методов решения уравнений с частными производными. Это метод решения дифференциальных уравнений, основанный на алгебраическом преобразовании исходного уравнения к равенству двух выражений, зависящих от разных независимых переменных. Такая схема разделения переменных приводит к нахождению решения в виде ряда или интеграла Фурье.
Основная идея этого метода состоит в том, что решение задачи для уравнения с частными производными сводится к решению вспомогательных задач для уравнений с меньшим числом независимых переменных. В частности, если заданное уравнение содержит две независимые переменные, то вспомогательные задачи будут уже зависеть только от одной переменной. Таким образом решение уравнения с частными производными сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.
Метод разделения переменных называют методом Фурье в честь Жана Батиста Фурье, построившего данный метод. Данный метод применяется, когда 1) Уравнение является линейным и однородным;
2) Граничные условия заданы в виде
Поиск решения таких дифференциальных уравнений находится в три этапа: 1. Нахождение элементарных решений исходного уравнения;
3. Нахождение решений, удовлетворяющих исходному уравнению, граничным и начальным условиям.
Компьютеризация данного метода выполнена в программе Maple17. Программный пакет программы позволяет проводить сложные математические вычисления и обладает богатыми возможностями графического представления математических объектов и процессов. Программа предназначена для выполнения быстрых численных расчетов, лежащих в основе математического моделирования различных явлений окружающего нас мира, систем и устройств самого различного назначения.
Вывод
В дипломной работе получены следующие результаты: 1. Описан метод разделения переменных для уравнения теплопроводности и волнового уравнения.
2. Созданы программы в системе Maple, позволяющие продемонстрировать нахождение решения уравнений медом Фурье.
3. Рассмотрены частные примеры уравнений и с помощью программ найдены их решения, построены графики этих решений.
Список литературы
1. Paul Erdos and Eric Jabotinsky. On Analytic Iteration. - Haifa, Israel, 1960. 361-376 p.
2. С. Фарлоу. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров - Москва «Мир» 1950г. 384с.
3. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов, т. 2: Учебное пособие для втузов. - 13-е изд. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. - 560 с.