Комплексные числа в алгебраической форме. Степень мнимой единицы. Геометрическая интерпретация комплексных чисел. Тригонометрическая форма. Приложение теории комплексных чисел к решению уравнений 3-й и 4-й степени. Комплексные числа и параметры.
Аннотация к работе
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами. В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа. Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости. В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях.Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения Полученное выражение назвали комплексными числами, поскольку они содержали как действительную, так и мнимую части. Число называется действительной частью комплексного числа , а число - его мнимой частью. Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число вида Комплексное число называется сопряженным комплексному числу , если .Полученное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости взаимно однозначно: каждому комплексному числу соответствует одна точка плоскости с координатами (a; b), и обратно, каждой точке плоскости с координатами (a; b) соответствует единственное комплексное число (см. рис. Комплексное число может также изображаться вектором с координатами a и b, идущим из начала координат в точку (a; b) (см. рис. Таким образом, множество точек - это окружность с центром в точке O радиуса , у которой «выколота» точка (рис. Докажите, что если точка не совпадает с точкой , то равенство задает уравнение прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину. Все точки , удовлетворяющие равенству , равноудалены от точек и и поэтому, как это известно из геометрии, лежат на прямой, перпендикулярной отрезку, соединяющему точки и , и проходящей через его середину.Число r называется модулем комплексного числа z, а число ? называется аргументом этого комплексного числа и обозначается Arg z. У комплексного числа z имеется бесконечно много аргументов: если ?0 - какой-либо аргумент числа z, то все остальные можно найти по формуле Для комплексного числа аргумент и тригонометрическая форма не определяются. Главное значение аргумента отличного от нуля комплексного числа находиться по формулам: Формулы умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме имеют следующий вид: . Так как тригонометрическая форма комплексного числа имеет вид , тогда: а) В комплексном числе : .Решите уравнение Приведем сначала наше уравнение к уравнению, не содержащему квадрат неизвестной (такое уравнение называется приведенным), т.е. к уравнению вида: , для чего произведем подстановку: Получим уравнение: . Раскрыв скобки и приведя подобные члены, приходим к уравнению: , где , и (Замечание. б) если , то уравнение (3) имеет три действительный корня, два из которых равны; в) если , то уравнение (3) имеет три различных действительный корня.Например, уравнение , где а > 0, х R, y R, задает множество всех концентрических окружностей, с центром (2; 1) радиуса а (рис. Прежде, чем перейти к решению задач, содержащих комплексные числа и параметр, сформулируем определения основных понятий, связанных с уравнениями (неравенствами) с параметром. Если ставится задача для каждого действительного значения, а решить это уравнение относительно x, то уравнение называется уравнением с переменной x и параметром a. Решить уравнение с параметром a - это значит, для каждого действительного значения a найти все решения данного уравнения или установить, что их нет. Уравнение является следствием уравнения при некотором значении а=а0, если множество решений уравнения содержится среди множества решений уравнения .1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами. 2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
План
Содержание
1. Введение……………………………………………………...…………..…
2. Комплексные числа (избранные задачи)
2.1. Комплексные числа в алгебраической форме….……...……….….
4. Список литературы………………………….…………………...............
Введение
В программе математики школьного курса теория чисел вводится на примерах множеств натуральных чисел, целых, рациональных, иррациональных, т.е. на множестве действительных чисел, изображения которых заполняют всю числовую ось. Но уже в 8 классе запаса действительных чисел не хватает, решая квадратные уравнения при отрицательном дискриминанте. Поэтому было необходимо пополнить запас действительных чисел при помощи комплексных чисел, для которых квадратный корень из отрицательного числа имеет смысл.
Выбор темы «Комплексные числа», как темы моей выпускной квалификационной работы, заключается в том, что понятие комплексного числа расширяет знания учащихся о числовых системах, о решении широкого класса задач как алгебраического, так и геометрического содержания, о решении алгебраических уравнений любой степени и о решение задач с параметрами.
В данной дипломной работе рассмотрено решение 82-х задач.
В первой части основного раздела «Комплексные числа» приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, определяются операции сложения, вычитания, умножения, деления, операция сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также излагается правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
Во второй части решаются задачи на геометрическую интерпретацию комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости.
В третьей части рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме. Используются формулы: Муавра и извлечение корня из комплексного числа.
Четвертая часть посвящена решению уравнений 3-й и 4-й степеней.
При решении задач последней части «Комплексные числа и параметры» используются и закрепляются сведения, приведенные в предыдущих частях. Серия задач главы посвящена определению семейств линий в комплексной плоскости, заданных уравнениями (неравенствами) с параметром. В части упражнений нужно решить уравнения с параметром (над полем С). Есть задания, где комплексная переменная удовлетворяет одновременно ряду условий. Особенностью решения задач этого раздела является сведение многих из них к решению уравнений (неравенств, систем) второй степени, иррациональных, тригонометрических с параметром.
Особенностью изложения материала каждой части является первоначальный ввод теоретических основ, а в последствии практическое их применение при решении задач.
В конце дипломной работы представлен список используемой литературы. В большинстве из них достаточно подробно и доступно изложен теоретический материал, рассмотрены решения некоторых задач и даны практические задания для самостоятельного решения. Особое внимание хочется обратить на такие источники, как: 1. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. [10]. Материал учебного пособия изложен в виде лекционных и практических занятий.
2. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. [21] Книга содержит 320 задач, относящихся к алгебре, арифметике и теории чисел. По своему характеру эти задачи значительно отличаются от стандартных школьных задач.
2. Комплексные числа (избранные задачи)
Вывод
В представленной выпускной квалификационной работе получены следующие результаты.
1) Приведено систематическое изложение вопроса решения задач с комплексными числами.
2) Приведены решения задач с комплексными числами в алгебраической форме, вычисление операций сложения, вычитания, умножения, деления, операции сопряжения для комплексных чисел в алгебраической форме, степень мнимой единицы, модуль комплексного числа, а также изложено правило извлечения квадратного корня из комплексного числа.
3) Решены задачи, посвященные геометрической интерпретации комплексных чисел в виде точек или векторов комплексной плоскости;
4) Рассмотрены действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
5) Приведены решения некоторых уравнений 3-й и 4-й степеней;
6) Решены некоторые задачи содержащие комплексные числа и параметры.
Материал, изложенный в выпускной квалификационной работе может быть использован в учебном процессе в курсе алгебры в высшем учебном заведении, а также в классах с углубленным изучением математики или на элективных курсах в школе.
2. Алгебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. - 7-е изд. - М.: Просвещение, 2000.
3. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В., Шабунин М.Ш. Алгебра и начала анализа. Пробный учебник 9-10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1975.
4. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. - М.: Просвещение, 1975.
5. Беляева Э.С., Потапов А.С. Уравнения и неравенства первой степени с параметром и к ним сводимые. Учебное пособие. - Воронеж: ВГПУ, 2001.
6. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. - М.: Наука, 1971.
7. Вавилов В.В, Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачник по математике. Алгебра. Справочное пособие. - М.: Наука, 1987.
8. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- 6-е изд. - М.: Просвещение, 1998.
9. Галицкий М.А., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. - М.: Просвещение, 1989.
10. Гордиенко Н.А., Беляева Э.С., Фирстов В.Е., Серебрякова И.В. Комплексные числа и их приложения: Учебное пособие. - Воронеж: ВГПУ, 2004.
11. Дадаян А.А., Новик И.А. Алгебра и начала анализа. - М.: Просвещение, 1987.
12. Звавич Л.И. и др. Алгебра и начала анализа. Решение задач письменного экзамена. / Л.И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, И.И. Кулагина. - М.: Дрофа, 2000.
13. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики.- М.: Просвещение, 1995.
14. Математика в школе. № 3, 1990.
15. Математика в школе. № 6, 1992.
16. Окунев Л.Я. Высшая алгебра. - М.: Просвещение, 1966.
17. Петраков И.С. Математические кружки в 8 - 10 классах. - М.: Просвещение, 1988.
18. Фадеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников. - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1987.
19. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. - М.: Наука, 1989.
20. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач: учебное пособие для 10 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1989.
21. Шклярский Д.О., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи и теоремы элементарной математики. Арифметика и алгебра. - М.: Физматлит, Лаборатория Базовых Знаний, 2001.