Расчет размаха варьирования случайных величин. Определение целесообразного количества групп по формуле Стерджесса, построение группировки и интервального ряда. Зависимость величины точечной оценки от объема выборки. Построение доверительных интервалов.
Аннотация к работе
В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин. Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом: в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis > Frequency tables > кнопка Variables для выбора переменной > отметили All distinct values > ОК. Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом: в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis > Descriptive statistics > Variables (выбрать переменную) > нажали Box & whisker plot for all variables > выбрали Median / Quart. Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7): Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA: Analysis > Descriptive statistics > Categorization > Number of intervals (установить количество интервалов) > More statistics > Mean, Variance. В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины и случайной величины .В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICA. В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, ее однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.Dim STBREPORT As Report Dim LOOP_CASE As Double Dim I As Double Set ADS = ACTIVEDATASET For LOOP_CASE = 1 To NCASES(ADS)Интервальные ряды для СВ и Таблица Д.1 - Интервальный ряд СВ , Частота Кумул. Таблица Д.2 - Интервальный ряд СВ , ЧАСТОТАКУМУЛ.ПРОЦЕНТКУМУЛ. Таблица Д.3 - Интервальный ряд СВ , ЧАСТОТАКУМУЛ.ПРОЦЕНТКУМУЛ. Таблица Д.4 - Интервальный ряд СВ , Частота Кумул. Таблица Д.5 - Интервальный ряд СВ , Частота Кумул.
Введение
С давних пор человечество осуществляло учет многих сопутствующих его жизнедеятельности явлений и предметов, а также связанных с ними вычислений. Люди получали разносторонние, хотя и различающиеся полнотой сведения на различных этапах общественного развития. Данные учитывались повседневно в процессе принятия хозяйственных решений, а в обобщенном виде и на государственном уровне - при определении направления экономической и социальной политики, характера внешнеполитической деятельности.
Выполняя самые разнообразные функции сбора, систематизации и анализа сведений, характеризующих экономическое и социальное развитие общества, статистика всегда играла роль главного поставщика факторов для управленческих, научно-исследовательских и прикладных практических нужд различного рода структур, организаций и населения. Роль статистики в нашей жизни настолько значительна, что люди, часто не задумываясь и не осознавая, постоянно используют элементы статистической методологии в повседневной практике.
Применяя статистические методы в экономических исследованиях, можно осуществлять стратегическое планирование, а также анализировать и прогнозировать рыночную конъюнктуру, уменьшая степень неопределенности в отношении внешнего окружения.
С увеличением объемов информации, становится актуальным вопрос ее компьютерной обработки. Получение навыков обработки и анализа экспериментальных данных с помощью компьютера, например, в пакете STATISTICA дает возможность получить полную информацию об исследуемом объекте и найти оптимальное решение конкретной поставленной задачи.
1. Генерация исходных данных
В данной курсовой работе вместо статистического наблюдения используются случайные величины, сгенерированные по следующим формулам: 1) непрерывная случайная величина X, определяемая по формуле 1.1;
(1.1)
2) непрерывная случайная величина У, определяемая по формуле 1.2.
(1.2) где , - значения случайной величины X и У в различных опытах;
- случайное число, равномерно распределенное на отрезке [0, 1], возвращаемое при обращении к стандартной функции на выбранном языке программирования к датчику случайных чисел; Для генерации исходных данных были использованы следующие методы: 1) Для случайной величины в окне Variable в поле Long Name была введена формула 1.3: (1.3)
2) Для случайной величины был создан программный имитатор в модуле STATISTICA BASIC. Реализация алгоритма генерации данных в модуле STATISTICA BASIC приведена в приложении А.
В результате были получены выборки, объемом 100, 200…1000 значений для каждой из случайных величин.
2. Первичная обработка результатов наблюдения
2.1 Построение вариационного ряда
Вариационный ряд - упорядоченные по возрастанию значения признака.
Построение вариационного ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом: в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis > Frequency tables > кнопка Variables для выбора переменной > отметили All distinct values > ОК.
Размах варьирования - абсолютная величина разности между максимальным и минимальным значениями (вариантами) изучаемого признака: (2.1)
Построение размаха варьирования в пакете STATISTICA производилось следующим образом: в модуле Basic Statistics and Tables: Analysis > Descriptive statistics > Variables (выбрать переменную) > нажали Box & whisker plot for all variables > выбрали Median / Quart. / Range > ОК.
Значения размаха варьирования для заданных выборок в таблице 2.1.
Таблица 2.1 - Размах варьирования для заданных выборок
Выборка
100 25,201 6,993 18,209 28,805 2,429 26,376
500 25,110 6,984 18,126 33,695 0,196 33,499
1000 25,237 6,711 18,466 33,962 -1,574 35,536
Случайная величина имеет меньший размах, чем случайная величина .
2.2 Группировка статистических данных
Число групп определяется по формуле Стерджесса (2.2): , (2.2) где - количество групп;
- объем выборки.
После определения числа групп следует определить интервалы группировки - значения варьирующего признака, лежащие в определенных границах. Величина равного интервала определяется по формуле (2.3): , где - число групп интервалов, - размах выборки .
Ниже приведены значения числа групп интервалов для всех выборок: При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
При : .
Построение интервального ряда в пакете STATISTICA производилось следующим образом: а) Analysis>Frequency tables>Variables(выбрали переменную);
б) установили количество интервалов в “No. of exact intervals”, посчитанных по формуле Стерджесса;
Интервальные ряды по каждой выборке для случайных величин X и Y приведены в таблицах 2.2-2.7 и Д.1-Д.14.
Таблица 2.2 - Интервальный ряд СВ при
Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,475289<x<=8,510050 8 8 8,00000 8,0000
8,510050<x<=11,54481 15 23 15,00000 23,0000
11,54481<x<=14,57957 16 39 16,00000 39,0000
14,57957<x<=17,61433 18 57 18,00000 57,0000
17,61433<x<=20,64909 20 77 20,00000 77,0000
20,64909<x<=23,68385 13 90 13,00000 90,0000
23,68385<x<=26,71862 10 100 10,00000 100,0000
Таблица 2.3 - Интервальный ряд СВ при
Частота Кумул. частота Процент Кумул. процент
5,850935<x<=8,116734 25 25 5,00000 5,0000
8,116734<x<=10,38253 62 87 12,40000 17,4000
10,38253<x<=12,64833 64 151 12,80000 30,2000
12,64833<x<=14,91413 55 206 11,00000 41,2000
14,91413<x<=17,17993 70 276 14,00000 55,2000
17,17993<x<=19,44573 64 340 12,80000 68,0000
19,44573<x<=21,71153 74 414 14,80000 82,8000
21,71153<x<=23,97733 59 473 11,80000 94,6000
23,97733<x<=26,24313 27 500 5,40000 100,0000
Таблица 2.4 - Интервальный ряд СВ при
ЧАСТОТАКУМУЛ. ЧАСТОТАПРОЦЕНТКУМУЛ. процент
5,745344<x<=7,797069 50 50 5,00000 5,0000
7,797069<x<=9,848795 106 156 10,60000 15,6000
9,848795<x<=11,90052 134 290 13,40000 29,0000
11,90052<x<=13,95225 88 378 8,80000 37,8000
13,95225<x<=16,00397 117 495 11,70000 49,5000
16,00397<x<=18,05570 121 616 12,10000 61,6000
18,05570<x<=20,10742 107 723 10,70000 72,3000
20,10742<x<=22,15915 117 840 11,70000 84,0000
22,15915<x<=24,21087 111 951 11,10000 95,1000
24,21087<x<=26,26260 49 1000 4,90000 100,0000
Таблица 2.5 - Интервальный ряд СВ при
Частота Кумул. Процент Кумул.
0,231076<x<=4,627075 1 1 1,00000 1,0000
4,627075<x<=9,023072 6 7 6,00000 7,0000
9,023072<x<=13,41907 20 27 20,00000 27,0000
13,41907<x<=17,81507 31 58 31,00000 58,0000
17,81507<x<=22,21107 22 80 22,00000 80,0000
22,21107<x<=26,60706 17 97 17,00000 97,0000
26,60706<x<=31,00306 3 100 3,00000 100,0000
Таблица 2.6 - Интервальный ряд СВ при
Частота Кумул. Процент Кумул.
-1,89766<x<=2,289667 2 2 0,40000 0,4000
2,289667<x<=6,476997 21 23 4,20000 4,6000
6,476997<x<=10,66433 59 82 11,80000 16,4000
10,66433<x<=14,85166 125 207 25,00000 41,4000
14,85166<x<=19,03899 147 354 29,40000 70,8000
19,03899<x<=23,22632 99 453 19,80000 90,6000
23,22632<x<=27,41365 39 492 7,80000 98,4000
27,41365<x<=31,60098 7 499 1,40000 99,8000
Таблица 2.7 - Интервальный ряд СВ при
ЧАСТОТАКУМУЛ.ПРОЦЕНТКУМУЛ.
-3,54794<x<=0,400491 5 5 0,50000 0,5000
0,400491<x<=4,348925 9 14 0,90000 1,4000
4,348925<x<=8,297359 61 75 6,10000 7,5000
8,297359<x<=12,24579 177 252 17,70000 25,2000
12,24579<x<=16,19423 279 531 27,90000 53,1000
16,19423<x<=20,14266 267 798 26,70000 79,8000
20,14266<x<=24,09110 154 952 15,40000 95,2000
24,09110<x<=28,03953 38 990 3,80000 99,0000
28,03953<x<=31,98797 8 998 0,80000 99,8000
31,98797<x<=35,93640 2 1000 0,20000 100,0000
2.3 Графическое изображение рядов распределения
Графическое изображение интервальных рядов включает построения полигона частот, гистограммы и кумуляты.
В пакете STATISTICA построение полигона происходит следующим образом: а) Analysis > Frequency tables > Variables (выбрать переменную);
б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;
в) Frequency tables > Count;
г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;
д) 2D Graphs > Graph Type > Line Plot. [1]
Построение кумуляты: а)Analysis > Frequency tables > Variables (выбрать переменную);
б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;
в) Frequency tables > Cumul. Count;
г) нажать правую кнопку мыши и выбрать “Custom Graphs”;
д) 2D Graphs > Graph Type > Line Plot (Bar ).
Построение гистограммы происходит следующим образом: а) Analysis > Frequency tables > Variables (выбрать переменную);
б) установить количество интервалов в “No. of exact intervals”;
в) Frequency tables > Percent;
г) нажать правую кнопку мыши и из выпадающего списка выбрать “Custom Graphs”;
д) 2D Graphs > Graph Type > Bar
2.4 Точечные оценки средних показателей
Точечная оценка математического ожидания по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.4):
где - значения элементов выборки.
Оценка дисперсии по вариационному ряду вычисляется по формуле (2.5).
Вычисление оценки математического ожидания по интервальному вариационному ряду осуществляется по формуле (2.6):
где - середина -го интервала;
- статистическая вероятность (частость) попадания в -тый интервал.
Оценка дисперсии для интервального ряда вычисляется по формуле (2.7):
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA: Analysis > Descriptive statistics > Categorization > Number of intervals (установить количество интервалов) > More statistics > Mean, Variance. [2]
Значения точечных оценок математического ожидания и дисперсии для простого и интервального рядов приведены в таблице 2.8.
Таблица 2.8 - Оценки математического ожидания и дисперсии
Выборка Математическое ожидание Дисперсия
Простой ряд Интервальный ряд Простой ряд Интервальный ряд
( )16,25416,27927,84928,517
( )16,18916,17426,25926,598
( )15,95016,00627,60828,330
( )16,66816,93631,12531,113
( )15,98916,00730,40631,242
( )15,79215,74027,05928,636
Из приведенных данных видно, что полученные оценки математического ожидания и дисперсии по вариационному (простому) и интервальному рядам имеют близкие значения. Причем, чем больше объем выборки, тем более точный результат. От номера эксперимента, то есть от количества испытаний величины точечной оценки не зависят. Это видно на рисунках 2.25 - 2.32.
Рисунок 2.25 - Зависимость от объема выборки для
Рисунок 2.26 - Зависимость от объема выборки для
Рисунок 2.27 - Зависимость от объема выборки для
Рисунок 2.28 - Зависимость от объема выборки для
Рисунок 2.29 - Зависимость от номера эксперимента по
Рисунок 2.30 - Зависимость от номера эксперимента по
Рисунок 2.31 - Зависимость от номера эксперимента по
Рисунок 2.32 - Зависимость от номера эксперимента по
В таблице 2.9 приведены оценки математического ожидания и дисперсии, вычисленные для 10 выборок по 1000 элементов в каждой для случайной величины и случайной величины .
Таблица 2.9 - Точечные оценки выборок из 1000 элементов для и Выборка
1 15,792 27,832 15,754 27,421
2 16,193 29,501 16,283 29,650
3 16,076 29,006 15,900 28,716
4 16,052 28,884 16,096 26,124
5 15,968 28,508 15,947 30,983
6 16,212 28,710 16,163 29,956
7 16,215 28,747 16,030 30,011
8 15,945 27,243 16,428 29,069
9 16,080 28,103 16,054 28,265
10 15,853 28,369 15,980 28,913
2.5 Доверительные интервалы
Для того чтобы оценить достоверность оценок, вводят понятие доверительный интервал и доверительная вероятность.
Доверительный интервал для математического ожидания определяется по формуле (2.7):
где - математическое ожидание генеральной совокупности;
- доверительная вероятность;
- оценка математического ожидания;
- величина доверительного интервала, вычисляется по формуле (2.8):
где - квантиль нормального распределения, получается обратным интерполированием из таблицы для функции распределения стандартного нормального закона. Вычисляется по формуле (2.9).
- оценка дисперсии, вычисляется по формуле (2.10).
Доверительный интервал для дисперсии определяется по формуле (2.11).
,
где - дисперсия генеральной совокупности;
- оценка дисперсии.
- квантиль нормального распределения.
Оценка стандартного отклонения в зависимости от закона распределения случайной величины имеет различное значение.
Для нормального закона распределения эта величина будет равна:
Для равномерного:
Ниже в таблицах 2.10-2.21 приведены доверительные интервалы математического ожидания исследуемых выборок.
-точный метод
Таблица 2.10 - Доверительные интервалы для СВ , 15,378 17,130
15,207 17,301
15,053 17,455
14,739 17,769
14,481 18,027
-грубый метод
Таблица 2.11 - Доверительные интервалы для СВ , 15,376 17,132
15,207 17,301
15,058 17,450
14,753 17,755
14,508 18,000
-точный метод
Таблица 2.12 - Доверительные интервалы для СВ , 15,81116,566
15,738 16,639
15,673 16,704
15,542 16,835
15,408 16,940
-грубый метод
Таблица 2.13 - Доверительные интервалы для СВ , 15,79516,553
15,722 16,626
15,657 16,691
15,526 16,822
15,420 16,928
-точный метод
Таблица 2.14 - Доверительные интервалы для СВ , 15,677 16,224
15,624 16,276
15,577 16,323
15,483 16,418
15,447 16,565
-грубый метод
Таблица 2.15 - Доверительные интервалы для СВ , 15,72916,283
15,676 16,336
15,629 16,383
15,533 16,479
15,456 16,556
-точный метод
Таблица 2.16 - Доверительные интервалы для СВ , 15,742 17,595
15,561 17,775
15,399 17,938
15,066 18,270
15,084 18,788
-грубый метод
Таблица 2.17 - Доверительные интервалы для СВ , 16,018 17,854
15,843 18,029
15,687 18,185
15,369 18,503
15,112 18,760
-точный метод
Таблица 2.18 - Доверительные интервалы для СВ , 15,583 16,396
15,505 16,474
15,435 16,544
15,294 16,685
15,177 16,837
-грубый метод
Таблица 2.19 - Доверительные интервалы для СВ , 15,59616,418
15,517 16,497
15,447 16,567
15,305 16,709
15,190 16,824
-точный метод
Таблица 2.20 - Доверительные интервалы для СВ , 15,521 16,063
15,469 16,115
15,423 16,161
15,329 16,255
15,178 16,302
-грубый метод
Таблица 2.21 - Доверительные интервалы для СВ , 15,46216,018
15,408 16,072
15,361 16,119
15,264 16,216
15,187 16,293
Длины доверительных интервалов для математического ожидания при различных уровнях доверительной вероятности приведены в таблице 2.22.
Таблица 2.23 - Доверительные интервалы для СВ , 25,059 32,793
24,452 33,693
23,926 34,524
22,914 36,280
22,095 37,873
-грубый метод
Таблица 2.24 - Доверительные интервалы для СВ , 26,08430,950
25,619 31,415
25,205 31,829
24,362 32,672
23,681 33,353
-точный метод
Таблица 2.25 - Доверительные интервалы для СВ , 23,37330,586
22,807 31,426
22,316 32,201
21,372 33,838
20,608 35,324
-грубый метод
Таблица 2.26 - Доверительные интервалы для СВ , 24,32928,867
23,895 29,301
23,508 29,688
22,722 30,474
22,088 31,108
-точный метод
Таблица 2.27 - Доверительные интервалы для СВ , 22,25829,128
21,719 29,928
21,252 30,666
20,354 32,225
19,626 33,640
-грубый метод
Таблица 2.28 - Доверительные интервалы для СВ , 23,16927,491
22,756 27,904
22,388 28,272
21,639 29,021
21,035 29,625
-точный метод
Таблица 2.29 - Доверительные интервалы для СВ , 27,34035,779
26,678 36,761
26,104 37,667
25,000 39,582
24,106 41,321
-грубый метод
Таблица 2.30 - Доверительные интервалы для СВ , 28,45933,767
27,951 34,275
27,499 34,727
26,579 35,647
25,837 36,389
-точный метод
Таблица 2.31 - Доверительные интервалы для СВ , 26,57534,777
25,931 35,732
25,374 36,613
24,301 38,474
23,431 40,164
-грубый метод
Таблица 2.32 - Доверительные интервалы для СВ , 27,66232,822
27,168 33,316
26,729 33,755
25,835 34,649
25,114 35,370
-точный метод
Таблица 2.33 - Доверительные интервалы для СВ , 25,16332,930
24,554 33,834
24,026 34,668
23,010 36,431
22,187 38,031
-грубый метод
Таблица 2.34 - Доверительные интервалы для СВ , 26,19331,079
25,726 31,546
25,310 31,962
24,463 32,809
23,780 33,492
В таблице 2.35 показано изменение длины доверительного интервала для дисперсии в зависимости от объема выборки и величины доверительной вероятности.
Таблица 2.35 - Длины доверительных интервалов
Величина интервала
( )7,7349,24110,59813,36615,778
( )7,2138,6199,88512,46614,716
( )4,3225,1485,8847,3828,590
( )8,43910,08311,56314,58217,215
( )8,2029,80111,23914,17316,733
( )7,7679,28010,64213,42115,844
Анализируя полученные данные можно заметить, что при увеличении уровня доверительной вероятности увеличивается величина доверительного интервала, а при увеличении объема выборки она уменьшается. Это справедливо как для доверительных интервалов математического ожидания, так и для дисперсии. [3]
2.6 Другие точечные оценки интервального ряда (мода, медиана, коэффициент вариации, коэффициент асимметрии, эксцесс)
Модой в вариационном ряду является наиболее часто встречающееся значение признака.
Мода по интервальному ряду вычисляется по формуле (2.13): (2.13) где - левая граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частость);
- величина интервала группировки;
- частота модального интервала;
- частота интервала, предшествующего модальному;
- частота интервала, следующего за модальным.
Медиана - серединное наблюдение в выборке длиной n.
При нечетном n медиана в вариационном ряду есть значение ряда с номером .
При четном n медиана есть полусумма значений с номерами и . В интервальном ряду для нахождения медианы применяется формула (2.14):
где - нижняя граница медианного интервала (медианным называется интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот);
Коэффициент вариации вычисляется по формуле (2.15):
На основе момента третьего порядка (смотри формулу 2.16) выборочный коэффициент асимметрии находится по формуле (2.17):
С помощью момента четвертого порядка характеризуют свойство рядов распределения, называемое эксцессом. Показатель эксцесса для ранжированного ряда находится по формуле (2.18).
Вычисление точечных оценок по вариационному ряду в пакете STATISTICA происходит следующим образом: Analysis > Descriptive statistics: а) Categorization > Number of intervals (установить количество интервалов);
б) нажать кнопку More statistics > откроется окно Statistics, где можно выбрать следующие показатели: Mean - выборочное среднее;
Median - медиана;
Standard Deviation - стандартное отклонение среднего значения;
Variance - выборочная дисперсия;
Skewness - выборочный коэффициент асимметрии;
Kurtosis - выборочный коэффициент эксцесса;
в) выбрать необходимые параметры и нажать ОК.
Значения медианы, коэффициента вариации, коэффициента ассиметрии и эксцесса приведены в таблице 2.36.
Таблица 2.36 - Медиана, коэффициент вариации, коэффициент ассиметрии и эксцесс
Анализируя полученные данные, можно сказать, что обе случайные величины имеют практически симметричное распределение, т. к. коэффициенты асимметрии всех выборок близки к нулю, Случайная величина имеет более пологое распределение (эксцесс для всех ее выборок имеет отрицательное значение). А эксцесс выборок случайной величины практически равен нулю, т.е. "крутизна" распределения случайной величины Y близка к нормальному распределению.
2.7 Оценка однородности выборки
Любая исследуемая совокупность содержит как значения признаков, сложившихся под влиянием факторов, непосредственно характерных для анализируемой совокупности, так и значения признаков, полученных под воздействием иных факторов, не характерных для основной совокупности.
Совокупность считается однородной, если коэффициент вариации не превышает 33% (для распределений, близких к нормальному). [4]
Из таблицы 2.36 видно, что однородными можно считать выборки случайной величины при равном 100, 500, 1000 и при n равном 1000.
Однородность выборки можно проверить, также используя метод Ирвина, основанный на определении -статистики. При его использовании выявление аномальных наблюдений производится по формуле (2.19).
где - упорядоченная (по возрастанию или по убыванию) исследуемая совокупность;
- значение ряда;
- предыдущее значение ряда;
- среднеквадратическое отклонение.
Если расчетное значение превысит уровень критического, то оно признается аномальным.
Произведя соответствующие расчеты в Microsoft Excel мы убедились, что ни одно из расчетных значений не превышает уровень критического значения. Это значит, что все выборки случайных величин и - однородны.
2.8.1 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе анализа точечных оценок числовых характеристик
Если среднее арифметическое, медиана и мода имеют близкие значения, это указывает на вероятное соответствие изучаемого распределения нормальному закону. Для нормального распределения коэффициент асимметрии и эксцесса равны нулю, а для равномерного эксцесс равен -1,2.
В таблице 2.37 приведены данные для проверки вышеуказанных утверждений.
Таблица 2.37 - Анализ числовых характеристик положения и вариации равномерный закон (СВ )нормальный закон (СВ ) выборка выборка
Анализируя полученные данные, можно сделать вывод о том что значения медианы и среднего арифметического для выборок случайной величины и имеют практически равное значение. Для выборки значение коэффициента ассиметрии, а для выборки случайной величины значение эксцесса практически равно 0. Для случайной величины значение эксцесса практически -1,2. Таким образом, все это свидетельствует о близости распределения случайной величины нормальному распределению, а случайной величины равномерному.
2.9 Определение закона распределения случайных величин
2.9.1 Определение закона распределения случайной величины по виду гистограммы
По виду гистограмм, приведенных на рисунках 2.19-2.21 делаем предположение о том, что случайная величина подчиняется равномерному закону распределения, а случайная величина соответствует нормальному закону распределения, что можно увидеть на рисунках 2.22-2.24.
2.9.2 Определение оценок параметров распределений
Метод моментов
Метод моментов заключается в том, что определенное количество статистических начальных и (или) центральных моментов приравнивается к соответствующим теоретическим моментам распределения случайной величины. Уравнения метода показано в формуле (2.23).
где - теоретический начальный момент -того порядка для непрерывной случайной величины, вычисляется по формуле (2.24): .
- статистическая оценка соответствующего теоретического момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.25): .
- теоретический центральный момент s-того порядка, вычисляется по формуле (2.26):
.
- статистическая оценка теоретического центрального момента -того порядка, вычисляется по формуле (2.27): .
Из системы (2.23) находятся параметры распределения. Число уравнений в системе зависит от количества неизвестных параметров. Для нормального и равномерного законов, система должна содержать два уравнения, для экспоненциального - одно.
Для равномерного закона распределения система (2.23) принимает вид (2.28):
Из системы 2.28 нужно найти параметры и .
В таблице 2.38 приведены значения этих параметров, найденные методом моментов и методом максимального правдоподобия.
Таблица 2.38 - Значения параметров и (метод моментов) (метод максимального правдоподобия)? (метод моментов) (метод максимального правдоподобия)?
6,9936,9960,00325,20125,5420,341
6,9847,3130,32925,11025,0650,045
6,7116,8490,13825,23725,0510,186
Из таблицы видно, что значения параметров, найденные разными методами, практически совпадают. Это подтверждает, что случайная величина распределена по равномерному закону.
Метод максимального правдоподобия
По методу максимального правдоподобия, строится так называемая функция правдоподобия (2.29):
где - выборка, - вектор параметров.
Необходимо найти такие значения вектора , чтобы функция достигала максимума. Для этого строят систему правдоподобия (2.30), содержащую частные производные от функции правдоподобия по всем переменным, приравненные к нулю. Для упрощения вычислений переходят к функции , равной логарифму натуральному от : .
Оценки параметров, получаемые из этой системы, называют оценками максимального правдоподобия.
Для равномерного закона функция правдоподобия будет иметь вид (2.31)
где и - параметры распределения.
Данная функция будет достигать максимума при условии (2.32):
Судя по полученным оценкам параметров распределения, можно сделать вывод, что наше предположение было верно изначально и случайная величина действительно распределена равномерно.
2.10 Проверка нормальности эмпирического распределения на основе критериев согласия Пирсона
Для проверки гипотезы о соответствии эмпирического распределения нормальному закону распределения необходимо ввести нулевую гипотезу, которая будет проверяться по критерию Пирсона.
: генеральная совокупность распределена по нормальному закону.
В качестве меры расхождения для критерия выбирается величина, равная взвешенной сумме квадратов отклонений статистической вероятности от соответствующей теоретической вероятности, рассчитанных по нормальному закону теоретического распределения вычисляется по формуле (2.20)
Общая схема применения критерия : 1. Определение меры расхождения по формуле 2.20;
2. Задание уровня значимости ;
3. Определение числа степеней свободы по формуле 2.22.
, (2.22) где - количество интервалов в интервальном ряду;
- число налагаемых связей, равное числу параметров предполагаемого закона распределения
4. Область принятия основной гипотезы: .
Выполнение в пакете STATISTICA.
В модуле Nonparametric Statistics (непараметрическая статистика), Distribution Fitting. В поле Continuous Distributions представлены непрерывные распределения, а в поле Discrete Distributions - дискретные распределения (закон распределения выбираем дважды щелкнув на его название мышью) ® Variable (выбрать переменную) ® в поле Plot distribution выбираем Frequency distribution (частоты распределения) ® в поле Kolmogorov-Smirnov test ставим No > установим необходимые параметры числа интервалов, верхней и нижней границ, среднего и дисперсии > Graph. Результаты проверки соответствия гипотезы приведены в таблице 2.39 и показаны на рисунках 2.41-2.46
Таблица 2.39 - Значения и ?2крит для случайных величин и Выборка Гипотеза
( )49,497,53Принимается
( )49,4911,815Отвергается
( )511,111,95Отвергается
( )511,125,54Отвергается
( )612,5945,51Отвергается
( )612,5939,83Отвергается
( )612,5948,77Отвергается
( )714,140,81Отвергается
( )714,149,97Отвергается
( )714,176,75Отвергается
( )49,492,04Принимается
( )49,492,12Принимается
( )511,12,78Принимается
( )511,12,99Принимается.
( )612,593,15Принимается
( )612,594,61Принимается
( )612,595,07Принимается
( )714,15,86Принимается
( )714,16,32Принимается
( )714,17,16Принимается
На основе полученных данных можно сделать вывод, что случайная величина распределена по нормальному закону, а случайная величина не распределена по нормальному закону.
Анализируя получившиеся графики, делаем вывод, что случайная величина распределена по равномерному закону, а случайная величина - по нормальному.
Вывод
В ходе курсовой работы были освоены методы обработки данных статистического наблюдения, их анализа с помощью обобщающих показателей, установление теоретических законов распределения случайных величин и доказательство адекватности этих законов. Также в результате выполнения данной работы мы приобрели навыки и опыт работы в пакете STATISTICA.
В ходе анализа данных, были сделаны выводы, что основной частью статистического анализа является выявление закона распределения случайной величины, а также, выявление основных факторов, оказывающих влияние на качество оцениваемых параметров закона распределения (длина выборки, ее однородность, величина доверительной вероятности). Был произведен статистический анализ каждой из полученных в ходе генерации выборок данных двух случайных величин, был найден закон их распределения. Рассмотрены основные числовые характеристики положения и вариации нормального и равномерного закона.
Полученный опыт работы со статистическими данными и методами их обработки на компьютере позволит гораздо быстрее и эффективнее применять эти методы обработки информации в повседневной жизни, в частности, для экономических исследований и разработок.
Перечень ссылок случайный величина интервальный выборка
1. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р. А. Шмойловой. - 3-е изд., перераб. -М.: Финансы и статистика, 2000. - 560 с.
2. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И. И. Елисеевой. - М.: Финансы и статистика, 1998. - 365 с.: ил.
3. Смирнов Н.В., Дунин-Барковский И.В. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1969. - 509 с.
4. Гурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для втузов. Изд. 5-е перераб. и доп. - М.: Высш. школа, 1977. - 397 с.
5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Unity, 2000. - 544 с.
6. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1969. - 576 с.
7. Боровиков В. STATISTICA: искусство анализа данных на компьютере. Для профессионалов. - СПБ.: Питер, 2001. - 656 с.