Понятия пространств в изучении компактных операторов. Линейный оператор и линейный функционал, сопряженный оператор, компактный множество. Основные свойства компактного операторов. Компактность оператора Вольтерра. Примеры некомпактного оператора.
Аннотация к работе
Изучение произвольных линейных операторов представляет собой весьма трудоемкую задачу, однако среди линейных операторов можно выделить классы операторов, которые могут быть рассмотрены более подробно.Определение: Непустое множество элементов называется линейным, если оно удовлетворяет таким условиям: I. Для любых двух элементов определен единственный элемент , называемый суммой и обозначаемый , причем 1) ; Для любого числа и любого элемента определен элемент , причем 1) ;Определение: Множество называется нормированным пространством, если: 1) - линейное пространство над полем действительных или комплексных чисел. 2) Для каждого элемента определено вещественное число, называемое его нормой и обозначаемое , и выполнены условия: а) для любого ;Определение: Расстоянием (метрикой) между двумя элементами и называется вещественное неотрицательное число, обозначаемое и подчиненное трем аксиомам: 1) ; Определение: Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если при . Определение: Нормированное пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность его элементов имеет предел.Определение: Множество в метрическом пространстве называется компактным, если из всякой бесконечной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому пределу . Определение: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , называется предкомпактным, или относительно компактным (компактным относительно ), если его замыкание в компактно. Определение: Множество называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре с центром в точке , то есть существует такая постоянная , такая, что для любого выполняется неравенство Теорема: Множество , лежащее в некотором метрическом пространстве , и относительно компактное, является ограниченным. Эта теорема следует из теоремы Больцано-Вейерштрасса для пространства : в этом пространстве всякая ограниченная последовательность содержит сходящуюся подпоследовательность.Определение: Линейным оператором, действующим из в , называется отображение , удовлетворяющее условию: для любых , . Будем говорить, что в (вещественной или комплексной линейной системе) определен функционал , если каждому элементу поставлено в соответствие некоторое вещественное (комплексное) число . Определение: Линейный оператор, действующий из Е в Е1, называется ограниченным, если он определен на всем Е и каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Определение: Оператор А называется непрерывным в точке , если для любой последовательности выполняется условие . Определение: Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке пространства Е.Определение: Совокупность всех непрерывных линейных функционалов, определенных на некотором линейном нормированном пространстве , образует линейное пространство, которое называется пространством, сопряженным с , и обозначается Рассмотрим непрерывный линейный оператор , отображающий линейное топологическое пространство в такое же пространство . Функционал есть непрерывный линейный функционал, определенный на .Определение: Оператор , отображающий банахово пространство в себя (или другое банахово пространство), называется компактным (вполне непрерывным), если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное.Если - компактный оператор, - ограниченный, то операторы и - компактные. Если операторы и компактные, действующие из нормированного пространства в нормированное пространство и - любые числа, то оператор также компактен. Но так как вместе с сходится и последовательность , то существует , что и доказывает компактность множества , а, следовательно, оператор компактен. Если - последовательность компактных операторов в банаховом пространстве , сходящаяся по норме к некоторому оператору , то оператор тоже компактен. Для установления компактности оператора достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность элементов из , из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
План
Содержание
Введение 3
§1. Основные понятия и определения 4
1.1. Линейные пространства 4
1.2. Нормированные пространства 5
1.3. Банаховы пространства 6
1.4. Компактные множества 8
1.5. Линейные операторы и линейные функционалы 11
1.6. Сопряженные операторы 12
§2. Компактные операторы 13
2.1. Определение компактного оператора 13
2.2. Свойства компактных операторов 13
2.3. Примеры некомпактного и компактных операторов 16
Литература 20
Введение
Изучение произвольных линейных операторов представляет собой весьма трудоемкую задачу, однако среди линейных операторов можно выделить классы операторов, которые могут быть рассмотрены более подробно. Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов - компактными операторами.
Работа состоит из двух параграфов. Первый из них содержит предварительные сведения, необходимые для рассмотрения темы: понятия пространств, которые необходимы при изучении компактных операторов, понятия линейного оператора и линейного функционала, сопряженного оператора, компактного множества. Во втором параграфе рассмотрено определение компактного оператора, основные свойства этого класса операторов и примеры компактных и некомпактного оператора.
Список литературы
1. Колмогоров, А.Н. Элементы теорий функций и функционального анализа [Текст] / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. - М.: Физматлит, 2004.
2. Вулих, Б.З. Введение в функциональный анализ [Текст] / Б.З. Вулих. -Изд. 2, перераб. и доп. - М., 1967.
3. Князев, П.Н. Функциональный анализ [Текст] / П.Н. Князев- Изд. 2, перераб. М., 2003.
4. Люстерник, Л.А. Элементы функционального анализа [Текст] / Л.А. Люстерник В.И. Соболев- М., 1951.