Исследование размерности множества, впервые рассмотренного Кантором. Характер суммы длин всех удаленных интервалов. Особенность изучения абстрактных "пространств". Анализ теоремы о покрытии. Суть двумерных, трехмерных и n-мерных фигур числа измерений.
Аннотация к работе
Понятие размерностиОтдельная точка или любое конечное множество точек имеет размерность нуль, отрезок - размерность 1, поверхность треугольника или сферы - размерность 2. Таким же образом, восставив в плоскости х, y из каждой рациональной точки или из каждой точки канторова множества перпендикуляр единичной длины к оси х (направляя его в сторону положительных значений у), мы получим множества, относительно которых может возникнуть сомнение - приписать ли им размерность 2 или 1. Пуанкаре заметил, что прямая или кривая имеет размерность 1, так как любые две точки на ней можно разделить, удаляя одну-единственную точку (множество размерности 0); плоскость же имеет размерность 2 по той причине, что для разделения двух точек на плоскости нужно удалить целую замкнутую кривую (множество размерности 1). В таком случае множество S имеет размерность 0, если оно не имеет размерности - 1 (т. е. если 5 содержит хоть одну точку) и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекает S по множеству размерности - 1 (т. е. совсем не содержит ни одной точки S). Теперь легко понять, что такое "размерность 1": говорят, что множество S имеет "размерность!", если оно не есть ни размерности - 1, ни размерности 0 и если каждая точка S может быть заключена в произвольно малую область, граница которой пересекается с S по множеству размерности 0.